Lectura de Cónicas 2 Intersecciones entre cónicas y rectas, resolución de sistemas mixtos, etc. Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP

Intersección de circunferencia y recta Eje X Eje Y 2 P Q Ejercicio: Determina si la circunferencia con centro en (0,0) y radio 2 y la recta de ecuación y = - x tienen puntos en común. Ya sabemos que el gráfico no es la herramienta suficiente para resolver esta cuestión, sin embargo es muy aconsejable hacer un gráfico para interpretar la situación y en este caso, al graficar vemos claramente que tienen dos puntos comunes: P y Q. Para resolver la situación, tenemos que resolver el sistema: Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP

Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP Reemplazando (2) en (1), tenemos: Para cada uno de estos valores de x, calculamos el correspondiente de y (es claro que es la abscisa de Q, y - la abscisa de P). Si reemplazamos estos valores en (2), obtenemos la ordenada correspondiente a cada una de ellas y obtenemos que: Q=( , - ) y P = ( - , ) son los puntos comunes entre la circunferencia y la recta. Y decimos que el sistema (*) tiene como conjunto solución el conjunto Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP

Resuelve el siguiente sistema e interpreta gráficamente Si despejamos y de (1), tenemos y=x-1. Reemplazando esto en (2), tenemos: Volviendo a (1), calculamos el valor de y para cada caso: Si x=0, y=0-1=-1 y si x=1, y=1-1=0, luego las ecuaciones (1) y (2) tienen dos soluciones en común, los puntos (0,-1) y (1,0). Para resolver el sistema dado, sólo resta determinar si estos puntos satisfacen la ecuación (3), en efecto: 3.0 – (-1) = 1 y 3.1 – 0  1 Luego es claro que (0,-1) satisface (3) y (1,0) no. Así, el conjunto solución de este sistema es : S={(0,-1)} Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP

Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP Gráficamente: 1 Eje X Eje Y (1) (2) (3) (0,-1) Como se ve en la figura, las soluciones de las ecuaciones (1) y (3) son respectivamente los puntos que constituyen las rectas roja ya azul respectivamente. La ecuación (2) tiene por soluciones los puntos de la circunferencia con centro en el origen y radio 1. La única solución común a las tres ecuaciones es el punto (0,-1). Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP

Con estos ejemplos sencillos, podemos concluir: Resolver un sistema de ecuaciones en dos incógnitas es hallar los puntos (x,y) del plano que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Si todas las ecuaciones del sistema son lineales, se dice que el sistema es lineal. El conjunto solución de un sistema lineal puede ser vacío, unitario o con infinitos elementos (pero no puede, por ejemplo, tener dos , tres o cinco elementos). Si alguna de las ecuaciones es lineal y otras no, el sistema se llama mixto. Reconocer las ecuaciones de las cónicas será útil para visualizar sus intersecciones con rectas u otras curvas, etc. Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP