Números Complejos Scherzer Prohibida su copia o reproducción sin permiso del autor el fisicomatemático Raúl Scherzer Alcalde 582 Guadalajara, Jalisco, México

Los números complejos son la unión de los números reales y los imaginarios. Se necesitan para hallar soluciones de ecuaciones que no se pueden resolver usando sólo el conjunto de los números reales.

Los números complejos. Los números complejos son la unión de los números reales y los números imaginarios. Los análogos del cálculo diferencial y cálculo integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo. Tienen una gran aplicación en la física, electrónica, mecánica cuántica, ecuaciones diferenciales y muchos otros campos.

Representación binomial. Los números complejos en su representación binomial u ortogonal: z = a + bi Parte Real Parte Imaginaria a y b son reales, la i es llamada la unidad imaginaria, con las siguientes propiedades: i = √−1i 2 = −1 i 3 = − √−1i 4 = 1 i 5 = √−1i 6 = −1 i 7 = − √−1i 8 = 1 Etc.

Representación geométrica rectangular del plano complejo. Origen (0,0) b a Eje real Eje imaginario Primer Cuadrante (+,+) Segundo Cuadrante (−,+) Tercer Cuadrante (−,−) Cuarto Cuadrante (+,−) + + − −

Representación trigonométrica o polar. Los números complejos en su representación trigonométrica o polar: z = r(cosø + isenø) = rcisø = re iø r es el módulo y ø es el argumento o ángulo, no obstante no está unívocamente determinado por z, como implica la fórmula de Euler (cosø + isenø = e iø ), para todo k elemento de los enteros z =e i(ø + 2πk). Por esto, generalmente restringimos ø al intervalo [−π,π] y a éste ø restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos ø = arg(z). z = re i(ø+2πk)

Representación geométrica polar del plano complejo. Polo b a Eje real Eje imaginario + + − − (a, b) ø r Se observa que: senø = b/r cosø = a/r → z = a + bi = r cosø + irsenø

El valor absoluto. El valor absoluto, modulo o magnitud de un número complejo z es: Es la distancia del origen al punto. Si el complejo está escrito en forma exponencial z = re iø entonces |z| = r. |z| = √ a 2 + b 2 Las cuatro propiedades del valor absoluto: 1)|z| = 0  z =0 2)|z + w| ≤ |z| + |w| 3)|zw| = |z||w| 4)|z − w| ≥ |z| − |w| Para cualquier complejo z y w. La distancia entre dos complejos es: d(z, w) = |z − w|

El conjugado. El Conjugado de un número complejo es: Z = a + bi Número complejo Su conjugado Z = a − bi Las propiedades de los conjugados son: 1)La suma de un número complejo y su conjugado nos da: (a + bi) + (a − bi) = 2a → z + z = 2a 2)La suma de un número complejo y su conjugado nos da: (a + bi) − (a − bi) = 2ib → z − z = 2ib

El conjugado. 3)La multiplicación de un número complejo y su conjugado nos da: (a + bi)(a − bi) = a 2 + b 2 → zz = |z| 2 4)El conjugado de una suma, es la suma de sus conjugados: z + w = z + w 5)El conjugado de una multiplicación, es el producto de sus conjugados: zw =zw 6)z  R  z = z 7)z ≠ 0 => 1/z = z/|z| 2 Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

Suma de números complejos. La suma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Ejemplos: (3 + 4i) + (2 + 5i) = (3 + 2) + (4 + 5)i = 5 + 9i (5 − 2i) + (−3 + 6i) = (5 − 3) + (−2 + 6)i = 2 + 4i (−1 − 3i) + (1 − 2i) = (−1 + 1) + (−3 − 2)i = − 5i

Resta de números complejos. La resta: (a + bi) − (c + di) = (a + c) − (b + d)i Ejemplos: (3 + 4i) − (2 + 5i) = 3 − 2 + 4i − 5i = 1 − i (5 − 2i) − (−3 + 6i) = − 2i − 6i = 8 − 8i (−1 − 3i) − (1 − 2i) = −1 − 1 −3i + 2i = − 2 − i

Multiplicación de números complejos. La multiplicación o producto: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i Ejemplos: (3 + 4i)(2 + 5i) = 6 + 8i + 15i + 20i 2 = = 6 + 8i + 15i + 20(−1) = = − i (5 − 2i)(−3 + 6i) = (− ) + (30 + 6)i = = − i (−1 − 3i)(1 − 2i) =(−1 − 6) + (2 − 3)i = = − 7 − i

División de números complejos. La división o cociente: (a + bi)/(c + di) = [(ac − bd) + (ad + bc)i]/(c 2 +d 2 ) Ejemplos: (3 + 4i)/(2 + 5i) = [(6 − 20) + (15 + 8)i]/( )= = − 14/ /29 i (5 − 2i)(−3 + 6i) = [(− ) + (30 + 6)i]/[(−3) ] = = − 3/ /45 i (−1 − 3i)(1 − 2i) = [(−1 − 6) + (2 − 3)i]/[1 2 + (−2) 2 ] = = − 7/5 − 1/5 i

Operaciones con notación polar. La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar: La división: La potenciación:

Geometría y operaciones con complejos. Geométricamente, las operaciones algebraicas con complejos las podemos entender como sigue. Para sumar dos complejos z 1 =a 1 + ib 1 y z 2 = a 2 + ib 2, podemos pensar en ello como la suma de dos vectores del plano x-y apuntando desde el origen al punto (a 1, b 1 ) y (a 2,b 2 ), respectivamente. Si trasladamos (movemos) el segundo vector, sin cambiar su dirección, con lo que su punto de aplicación coincide con el punto final del primer vector; el segundo vector así ubicado apuntará al complejo z 1 + z 2.

Geometría y operaciones con complejos. Siguiendo con esta idea, para multiplicar dos complejos z 1 y z 2, primero medimos el ángulo que forman en sentido contrario a las agujas del reloj con el eje positivo de las x y sumamos ambos ángulos: el ángulo resultante corresponde con el del vector que representa al complejo producto z 1 · z 2. La longitud de este vector producto viene dada por la multiplicación de las longitudes de los vectores originales. La multiplicación por un número complejo fijo puede ser vista como la transformación del vector que rota y cambia su tamaño simultáneamente.

Geometría y operaciones con complejos. Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90º en dirección contraria a las agujas del reloj. Asimismo el que (-1) · (-1) = +1 puede ser entendido geométricamente como la combinación de dos rotaciones de 180º (i al cuadrado = -1), dando como resultado un cambio de signo al completar una vuelta.

Soluciones de ecuaciones polinómicas. Una raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. También se cumple que si z es una raíz entonces su conjugado también es una raíz del polinomio p. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.polinomio Teorema Fundamental del Álgebracuerpo algebraicamente cerrado

Variable compleja o análisis complejo. Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una gran cantidad de usos como herramienta de matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El análisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar. Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada o animaciones en 3D para representar las cuatro dimensiones.funcionesAnálisis complejomatemáticas aplicadasteoría de números3D