ALGORITMO FFT Ing. José Arturo Marín Thames 2018

Introducción FFT es la abreviatura usual (del inglés Fast Fourier Transform) de un eficiente algoritmo que permite calcular la transformada de Fourier discreta (DFT) y su inversa. La señal de la que se tomaron muestras y que se va a transformar debe consistir de un número de muestras igual a una potencia de dos. La mayoría de los analizadores de espectros permiten la transformación de 512, 1024, 2048 o 4096 muestras.

Definición Sean x 0, x 1, …, X n-1 números complejos. La transformada discreta de Fourier DFT se define como: Su transformada inversa es igual a:

DFT La evaluación directa de la ecuación de la DFT requiere N 2 operaciones, sin embargo con la FFT se puede obtener el mismo resultado con N log N operaciones. La idea de la FFT es la descomposición de la DFT en otras transformadas más simples y estas a su vez hasta llegar a transformadas de dos elementos donde K = 0 y K = 1.

DFT Una vez resueltas las transformadas simples hay que agruparlas en otras de nivel superior que deben resolverse de nuevo. Al final los resultados obtenidos deben reordenarse.

ALGORITMO TRF Es el algoritmo más eficiente para el calculo de la transformada DFT, fue popularizado por Cooley y Tukey en Fue posteriormente denominado FFT y es muy eficiente para el cálculo de la DFT y por tanto ampliamente utilizada en muchas aplicaciones.

FFT La FFT esta basada en la DFT compleja. Existe una diferencia con la DFT real, identificada por el tipo de datos que utilizan y como los transforman. Como la FFT es un algoritmo para calcular la DFT compleja es importante entender como transferir los datos reales dentro y fuera de la DFT compleja.

COMPARACIÓN DE LAS DFT REAL Y COMPLEJA

La DFT compleja transforma dos señales de N puntos del dominio del tiempo, en dos señales de N puntos en el dominio de la frecuencia. Las dos señales del dominio del tiempo se denominan parte real y parte imaginaria. Todos los valores de estas señales son valores numéricos ordinarios.

COMPARACIÓN DE LAS DFT REAL Y COMPLEJA Si tenemos una señal de N puntos y se necesita calcular la DFT real por medio de la FFT (DFT compleja), colocamos los N valores de la señal en la parte real de la DFT y colocamos en cero todos los coeficientes de la parte imaginaria. El calculo de la DFT en este caso resulta en una señal real e imaginaria en el dominio de la frecuencia. Donde los valores de las muestras de 0 a N/2 corresponden al espectro de la DFT real.

OPERACIÓN DE LA FFT La FFT opera descomponiendo una señal del dominio del tiempo de N puntos en N señales del domino del tiempo cada una compuesta por un solo punto. El siguiente paso es calcular la transformada discreta de estas N señales. Posteriormente se sintetizaran los N valores de espectro encontrados en un espectro de frecuencia único.

DESCOMPOSICIÓN DE LA FFT

El número de descomposiciones es igual a log 2 N. Por ejemplo para una señal de 16 muestras el número de descomposiciones es igual a 4, o sea 4 etapas. Por tanto una señal de 4096 muestras requiere 12 etapas para descomponerse.

CÁLCULO DEL ESPECTRO DE LAS MUESTRAS El siguiente paso es calcular el espectro de las muestras individuales, que no es otra cosa que el mismo valor de la muestra. El último paso es combinar el espectro de frecuencia de las N muestras en el orden reverso exacto.

SÍNTESIS DEL ESPECTRO DE FRECUENCIAS

Considerando dos señales del dominio del tiempo la primera: a, b, c y d, y la segunda e, f, g y h. Se puede formar una señal en el dominio del tiempo de 8 puntos se puede formar en dos pasos. Separando los valores de la señal con ceros para hacer una señal de ocho valores y luego sumar ambas señales.

SÍNTESIS DEL ESPECTRO DE FRECUENCIAS La primera secuencia quedaría así: a0b0c0d En tanto que la segunda: 0e0f0g0h Sumado ambas señales se obtiene: aebfcgdh

LA OPERACIÓN FFT MARIPOSA El elemento de cálculo básico de la FFT se conoce como algoritmo mariposa, el cual transforma dos puntos complejos en otros dos puntos complejos.