Longitud de Curvas Marroquín García David
Reseña Histórica El problema de calcular la longitud de una curva ha motivado trabajos matemáticos muy variados. El matemático holandés Christian Huygens y el matemático escocés James Gregory fueron personalidades importantes en el trabajo con curvas rectificables.
Introducción Para calcular la distancia que recorre un cohete en un intervalo de tiempo, o bien la longitud de alambre doblado, se requiere conocer los procesos para determinarlos. Para resolver dicho problemas aplicaremos el calculo.
Curva rectificable Propiedades: Longitud Finita Su derivada es continua en el intervalo [a,b] Su grafica en el intervalo [a,b] es una curva suave.
Definición: Si la grafica de la función f(x) en el intervalo [a,b] es una curva suave, entonces:
Desarrollo Paso 1 Tomando cualquier numero n de puntos Sobre la curva entre p’ y Q, se trazan las Cuerdas
Entonces aplicamos la fórmula para calcular la longitud de una recta
Teorema del valor medio Según el teorema del valor medio tenemos: y
Sustituyendo: Longitud de cuerda 1 Longitud de cuerda 2 Longitud de cuerda n
Como la longitud de la poligonal inscrita que une a p’ y Q es la suma de las cuerdas, entonces: es igual a:
Teorema Fundamental Aplicando el teorema tenemos: es igual a:
Las integrales que nos dan el valor de una longitud del curva son muy difíciles de calcular exactamente, por lo que se requiere de algunas técnicas de integración.
Resumiendo
Bibliografía Cálculo diferencial e integral. Granville. Limusa.España 2002. Cálculo. Larson, Hostetler, Edwards. Mc Graw Hill.Mexico 1999. www.ima.ucv.cl/hipertexto/calculo2 Geometria Analitica. Lehman. Limusa. España 2000.