Geometría no euclidiana
Las geometrías donde el quinto postulado de Euclides no es válido se llaman geometrías no euclidianas.
Cierto interés práctico pero limitado (Trigonometría esférica utilizada en Astronomía)
El trabajo de Albert Einstein, hizo ver que entre las necesidades de la física moderna están las geometrías no euclidianas, para describir el espacio-tiempo curvo.
La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa. La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva. Si se consideran geometrías no-euclídeas homogéneas entonces existe una infinidad de posibles geometrías, descritas por las variedades riemannianas generales.