DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS U.D. 3 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

TRABAJO CON PARÁMETROS U.D. 3.5 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Recordatorio DISCUSIÓN Si al reducir la matriz ampliada A/B a la forma triangular aparece alguna fila en la que son nulos todos los elementos, excepto el correspondiente al término independiente, el sistema es INCOMPATIBLE ( No tiene solución). [ h = 0 , j <> 0 ] En caso contrario es sistema es COMPATIBLE (Tiene solución) y se distinguen dos casos: Si el número de filas no nulas en la matriz triangular coincide con el número de incógnitas, el sistema es DETERMINADO. ( Tiene UNA única solución ) Si el número de filas no nulas en la matriz triangular es menor que el número de incógnitas, el sistema es INDETERMINADO. ( Tiene INFINITAS soluciones ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplo_1 Sea ax + y + z = 3 a 1 1 3 x + ay + z = 3  A/B = 1 a 1 3 x + y + az = 3 1 1 a 3 Al aplicar Gauss en la matriz A/B queda 1 1/a 1/a 3/a 1 1/a 1/a 3/a A/B = 1 a 1 3  0 a-1/a 1-1/a 3-3/a 1 1 a 3 0 1-1/a a-1/a 3-3/a 1 1/a 1/a 3/a a 1 1 3 0 a-1/a 1-1/a 3-3/a  0 (a+1)(a-1) a-1 3(a-1) 0 1-1/a a-1/a 3-3/a 0 a-1 (a+1)(a-1) 3(a-1) a 1 1 3 a 1 1 3 0 0 -a(a-1)(a+2) -3.a(a-1)  0 1 a+1 3 0 a-1 (a+1)(a-1) 3(a-1) 0 0 a+2 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

... Ejemplo Discusión: a 1 1 3 0 1 a+1 3 0 0 a+2 3 Si a+2 = 0 el sistema es incompatible, pues 3<>0 Si a+2 = 0  a = -2 Si a <> -2 el sistema es compatible. Si a = 1 Las tres filas son idénticas. Por tanto el rango de A es igual al rango de A/B = 1 El sistema es compatible e indeterminado. Si a <>1 y a <> -2 El sistema es compatible y determinado, pues ran(a)=ran(A/B) = n = 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Resolución_1 Para a <> -2 a 1 1 3 0 1 a+1 3 0 0 a+2 3 Por Gauss: (a+2).z = 3  z = 3 / (a+2) y+ (a+1).3/(a+2) = 3  y = 3 – 3(a+1)/(a+2) = 3/(a+2) a.x + y + z = 3  x = [3 – 3/(a+2) – 3/(a+2)] / a = 3.a/a = 3 Para a = 1 x = 3 – y – z Si a <>1 y a <> -2 Idem para a <> -2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplo_2 Sea x + y + z = 3 1 1 1 3 x + 2y – 3z = 5 1 2 - 3 5 y – 4z = b 0 1 - 4 b Al aplicar Gauss en la matriz A/B queda 1 1 1 3 1 1 1 3 A/B = 0 1 -4 2  0 1 -4 2 0 1 -4 2 0 1 -4 b 0 1 -4 b 0 0 0 0 1 1 1 3 A/B = 0 1 -4 2  Caso 1: b-2 = 0  b=2 0 0 0 b-2 Caso 2: b-2 <> 0  b<>2 0 0 0 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Resolución_2 Para b = 2 Ran (A)=2, ran(A/B) =2 , n= 3 Sistema compatible e indeterminado. x + y + z = 3 y – 4z = 2 Por Gauss: y = 2 + 4.z x = 3 – z – y = 3 – z – (2 + 4z) = 1 – 5.z Para b <> 2 Ran (A)=2, ran(A/B) =3 Sistema incompatible. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.