Funciones de Variables Aleatorias y Función Generadora de Momentos CAPITULO 5 Funciones de Variables Aleatorias y Función Generadora de Momentos Estadística Computacional

X es v.a. discreta y g continua  Y = g o X es v.a. discreta Funciones de Variables Aleatorias Sea X v.a. con función de densidad (cuantía) fX. Sea Y = g(x). Entonces: X es v.a. discreta y g continua  Y = g o X es v.a. discreta X es v.a. continua y g continua  Y = g o X sea v.a. continua

 RX RY Transformación de Variables H : RX  RY X :   RX B C A x  RX dominio H y  RY rango H (x, y)  H X :   RX s   dominio X x  RX rango X (s, x)  X X(s)  B RX B H(x)  C H(X(s))  C RY C  A s  A Y :   RY s   dominio Y = H(X) y  RY rango Y = H(X) (s, y)  Y = H(X) P(C) = P[{ x  RX : H(x)  C}] = P[{ s   : H(X(s))  C}]

 Transformación de Variables X Y Sea X una v.a. discreta con función de cuantía f(xij) f(x11) ··· f(x31) ·······f(xn1) f(x12) ········· f(xn2) f(x13) ········· f(xn3) f(x1j) ········· f(xnj) x11 x21 x31 x41 ······· xn1 x12 x22 x32 ·· xn2 x13 x23 x33 ·· xn3 x1j x2j x3j ·· xnj X y1 y2 y3 yj Y Entonces Y = H(X) es una variable aleatoria con función de cuantía g(yj) = f(xij)  nj ij = 1j Sea H(xij) = yj una función que tiene la propiedad de asignar un valor yj a todo xij j  J para i = 1, 2, 3 ,...; j = 1, 2,...

Transformación de Variables Sea X v.a. con función de densidad (cuantía) fX(x) Sea Y = H(x) también es una variable aleatoria. Entonces: Si H(x) discreta Si H(x) continua Y = H( X) es v.a. discreta Y = H( X) es v.a. discreta discreta X es v.a. Y = H( X) es v.a. discreta Y = H( X) es v.a. continua continua

X :  R  g : D R Y = g(X) v.a. Entonces: Funciones de Variables Aleatorias X :  R  g : D R Y = g(X) v.a. v.a.c. fu continua, estrictamente monótona, derivable y con derivada no nula en A  D Entonces:

Transformación de V.A. Continuas x Sea X v.a. f(x) = 2x 0 < x < 1 f(x) = 2x 0 < x < 1 2 f(x) 1 1 2 y = 3x + 1 3 4 x y Sea Y = H(X) = 3X + 1 pdf de Y; g(y) ? y – 1 3 y – 1 3 G(y) = P(Y  y) = P(3X + 1  y) G(y) = P(Y  y) = P(X  ) = F ( ) Procedimiento: Obtener G(), la función de distribución acumulada de Y, donde G(y) = P(Y  y) queda definida por el evento A en X Espacio de recorrido de X que es Equivalente al evento {Y  y } Diferenciar G(y) con respecto a y para obtener g(y) Esto se hace aplicando la regla de la cadena Determinar los valores de y en Y, para el cual g(y) > 0 g(y) = G’(y)  (y - 1) 2 9 1 3 4 5 y g(y) dG(y) dy dF(x) dx dx dy = P(X  (y – 1)/ 3) = 2x dx = [y – 1]2   (y –1)/3 1 9 =

Funciones de Variables Aleatorias Ejemplo: fX(x) = I0,1(x) g(x) = ln x Sea Y = g o X = ln X. Encontrar la densidad de Y = ln X

Además g es derivable y con derivada no nula en A Entonces: Funciones de Variables Aleatorias Solución: Sea A = 0,1  D = R+ Además g es derivable y con derivada no nula en A Entonces:

Caso X  U (0,1) H(X) = ln X Sea X ~ U(0,1) G(y) = P(Y  y) f(x) = 1 0 < x < 1 Y = H(X)  Y = ln X X = H-1(Y)  X = eY encontrar g(y) G(y) = P(Y  y) P(ln X  y) P(X  ey ) F(ey) 1 g(y) y -  g(y) = G’(y) = = 1 x ey dx dy dF(x) g(y) >0  x y 0 - 1 0

Además, algunas propiedades de Y son: Funciones de Variables Aleatorias Solución: Además, algunas propiedades de Y son:

derivando con respecto a “y” tenemos: Un método operativo X  U (0,1) Y = ln X derivando con respecto a “y” tenemos:

En general, sea X v.a.c.  Y = X2 Un método operativo En general, sea X v.a.c.  Y = X2 Consideremos X  N(0,1), sea Y = X2, luego: Y  2(1)

Ejercicio Sea X = ln Y  N (  , 2 ) Encontrar la distribución de Y Nota: Y se conoce como distribución Log-normal.

Distribución Log-Normal Función de Densidad LN( 0, 2)

Función Generadora de Momentos Definición: Sea X v.a. (d. ó c.) con densidad o cuantía fX. Se llama función generadora de momentos a  : D  R R / X(t) = E [etX] t X(t) X v.a.d. X v.a.c.

Función Generadora de Momentos Observaciones: Tal serie o integral pude no existir siempre  t  D. Sin embargo, t = 0 existe siempre, y vale 1. Deseamos que exista V(0,)D y que además sea derivable k-veces. Cuando X(t)=E[etX] no exista, podemos usar X(t)=EeitX llamada función característica.

Función Generadora de Momentos X X(t) U(a,b) P() Exp() N(,2)

Función Generadora de Momentos X X(t) (,) B(n,p)

Función Generadora de Momentos Usando el desarrollo en serie de Maclaurin X(t) ’X(0) = E[X] ’’X(0) = E[X2]

En general, bajo condiciones de regularidad: Función Generadora de Momentos En general, bajo condiciones de regularidad: nX(0) = E[Xn] Finalmente: Si Y = X +   Y(t) = et X(t) Z = X + Y ; X  Y  Z(t) = X(t) Y(t)

Distribución Log-Normal Función de Densidad LN( 0, 2)

Caso X  U (0,1) H(X) = e-X Sea X ~ U(0,1) f(x) = 1 0 < x < 1 Y = H(X)  Y = e-X X = H-1(Y)  X = - ln Y encontrar g(y) G(y) = P(Y  y) = P(e-X  y) P(- X  ln y ) = P(X  - ln y ) = 1 – F(ln y) 1 g(y) y e-1 g(y) = G’(y) = = - 1 dx dy dF(x) _ 1 y g(y)  x y 0 1 1 e-1

X :  X  H : X Y Y = H(X) v.a. Transformación de V.A. Continuas ) continua, estrictamente monótona, derivable y con derivada no nula en A  Y Entonces: ) ( )) dy y dH H f g X Y = - 1

Caso X  U (0,1) H(X) = X2  Sea X ~ U(0,1) f(x) = 1 0 < x < 1 Y = H(X)  Y = X2 X = H-1(Y)  X =  Y ó X = -  Y encontrar g(y) = G(y) = P(Y  y) = P(X2  y) P(- y  X   y ) = F( y ) – F(-  y ) G’(y) = dF(y) dx dy  dF(-y) g(y) = f( y ) + f(-  y ) 1 2  y

Caso X  N (m,s2) H(X) = e e (X – m ) s s p * p - Sea X ~ N(m,s2) f(x) = e - < x <  Y = H(X)  Y = X = H-1(Y)  X = sY + m encontrar g(y) 1 2p - ½ x - m s 2 g(y) = f(x) dx dy Sabemos que X – m s = e 2 1 s p s y + m - m * g(y) = 2 1 p e - y Reconocemos la Normal Estandar (N(0,1)

Caso X  N (m,s2) H(X) = ln X e e s p * ey s p y Sea X ~ N(m,s2) f(x) = e - < x <  Y = H(X)  Y = ln X X = H-1(Y)  X = eY encontrar g(y) 1 2p - ½ x - m s 2 g(y) = f(x) dx dy Sabemos que e 2 1 s p ey - m * ey = g(y) = e 2 1 s p ey - m y

Caso X  N (m,s2) H(X) = eX e e = p y g * p 2 Sea X ~ N(m,s2) f(x) = e - < x <  Y = H(X)  Y = eX X = H-1(Y)  X = lnY encontrar g(y) 1 2p - ½ x - m s 2 g(y) = f(x) dx dy Sabemos que = 2 1 p e lny – m s * y Se le denomina distribución LogNormal: (N(0,1) y g p 1 2 - = e lny – m s

Distribución LogNormal (0,1) Fenómenos aleatorios representados por variables aleatorias con esta distribución: Diámetro de pequeñas partículas después de un proceso de chancado El tamaño de un organismo sujeto a un número pequeño de impulsos Rentas de familias; consumo de electricidad; ventas en pesos; etc. Tiempo de vida de ciertos ítems Análisis de riesgo financiero en el cálculo del VAN Si la probabilidad que uno y sólo una observación ocurrirá durante un pequeño intervalo Dt es proporcional a Dt Y si la ocurrencia del resultado es independiente de la ocurrencia de otros resultados Entonces el tiempo transcurrido entre observaciones sucesivas es distribuido exponencialmente. Otra forma de decir lo anterior es que una actividad caracterizada por una distribución exponencial tiene la misma probabilidad de ser completada en cualquier intervalo subsecuente Dt Así, si la actividad ha estado en ejecucuión por t unidades de tiempo, la probabilidad que será finiquitada en las próximas Dt unidades de tiempo, es la misma que si estuviese partiendo: P(T > t + Dt T > t ) = P( T > Dt) = e – Dt / l Esta falta de condicionalidad del tiempo remanente sobre elm tiempo transcurrido es llamada propiedad markoviana o sin memoria. Esiste una asociación directa entre esta condición markoviana y al distribución exponencial; el empleo de una distribución exponencial supone una gran variación pues la variancoa es el cuadrado del valor nesperado. Esta distribución tiene una de las grandes variancias entre las distribuciones estandar Es fácil de manipilar matemáticamente; por ello se le emplea en muchos estudios y modelos.

e Distribución LogNormal (m, s2) x-1 p F(x) : E[X] = em+ s /2 ln x - m s 2 1 2 _ x-1 e f(x) = 2 p s R x Î F(x) : No tiene expresión analítica. E[X] = em+ s /2 V[X] = e2m+ s (es – 1) 2 2 2

Caso X  N(0,1) H(X) = X2  = p . ó X = -  Y y g e p e = þ ý ü î í ì Sea X ~ N(0,1) f(x) = e - < x <  Y = H(X)  Y = X2 X = H-1(Y)  X =  Y . ó X = -  Y encontrar g(y) g(y) = f( y ) + f(-  y ) 1 2  y Sabemos que: 1 2p - ½ x 2 p 2 1 / y e - = þ ý ü î í ì + y g p 2 1 / e - = Reconocemos una distribución n ; con n = 1 

Desafíos ... Sea X ~ U(1, 3) Sea f(x) = 2x 0 < x < 1 H(X) = 3X + 1 J(X) = eX Sea f(x) = 2x 0 < x < 1 H(X) = 3X + 1 J(X) = e-X Sea f(x) = e-x x > 0 H(X) = X3 J(X) = Sea f(x) = ½ -1 < x < 1 H(X) = 4 – x2 J(X) = ln X 3 (X + 1)2

n x - 1 - x 2 e 2 f( x ) = x > 0 n G n 2 2 2 G p 1 2 = 