NOTACIÓN INDICIAL

Convención de la suma El símbolo puede ser omitido ( es implícito ), si el índice de suma ( es decir i ), aparece exactamente dos veces en cada término de la suma. Ejemplo:

Delta de Kronecker Propiedad: Propiedad:

Contracción (j) (i).

Vectores Sea una base ortonormal de un espacio vectorial asociado con el espacio euclideano tridimensional. Es obvio que la dimensión de este Espacio es 31=3. A sus elementos los llamaremos Tensores de orden uno Sea un vector de componentes en dicha base. Propiedad de Descomposición:

Propiedades del producto escalar Producto escalar entre dos versores de la base Producto escalar entre dos vectores

Tensor permutación restantes casos Propiedad: Propiedad:

Propiedades del producto vectorial Producto vectorial de dos versores de la base Producto vectorial de dos vectores Producto mixto

Relación ε – δ

Transformaciones Lineales Dados dos espaciones vectoriales y sobre un mismo cuerpo, en este caso Decimos que una transformación es lineal, si se verifica que: Si los dos espacios vectoriales anteriores,coinciden con el espacio vectorial asociado con el espacio Euclidiano tridimensional llamamos a la transformación lineal correspondiente Tensor de orden dos.

Tensores de orden dos Llamaremos tensor de orden 2 a toda transformación lineal . Se demuestra que constituyen un espacio vectorial que representaremos como Definimos como los componentes de la matriz asociada al tensor de orden dos en la base

Transformación autoadjunta Dada una transformación lineal , diremos que es la transformación adjunta de , si se cumple que: Diremos que la transformación es autoadjunta, cuando: Propiedad: Sea

Producto diádico de dos vectores lineal / Definición: Propiedad: Sea constituyen una base de Propiedad: Este espacio vectorial, tiene dimensión 32=9

Composición de dos tensores de orden 2

Traza de un tensor de orden 2 Definición:

Producto interno en el espacio de los tensores de orden 2 Definición: Es inmediato probar que “ : ” cumple con las propiedades formales del producto interno.

Producto triádico de tres vectores La idea del producto diádico, se puede extender introduciendo una triada como un nuevo objeto, formado por tres vectores tales que: Se demuestra que son una base del espacio vectorial de los tensores de orden 3, y que este espacio vectorial tiene dimensión 33=27 Si

Tensores de orden n Por inducción se pueden definir los tensores de orden n. Su espacio vectorial tendrá dimensión 3n. Si se hubiera partido del espacio vectorial asociado con el espacio euclideano bidimensional el espacio vectorial De los nuevos tensores de orden n sería y tendría dimensión 2n Observemos que un tensor de orden n tendrá n subindices en su notación tensorial. con #{ei, ej, ek,... , el }=n

Convención de la derivada Un campo tensorial de orden n, es una función, cuyos valores son tensores de orden n y cuyo dominio es una región en el espacio .El contorno de es una superficie cerrada denotada por y su versor normal saliente sobre es representado por . El operador derivada parcial con respecto a de un campo tensorial de orden n, es un campo tensorial de orden n+1 que representaremos como:

Reglas prácticas de notación indicial