Tema 8 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT ASÍNTOTAS Tema 8.8 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT EJEMPLO Sea f(x) = 4 / x Cuando el valor de x se aproxima a cero, x0,por su derecha o por su izquierda, la gráfica tiende a juntarse con el eje de ordenadas. Por ello x=0 es una Asíntota Vertical. Cuando el valor de x aumenta o disminuye en exceso, x± oo, vemos que la gráfica tiende a juntarse con el eje de abscisas. Por ello la recta y=0 es una Asíntota Horizontal. y=f(x) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT OTRO EJEMPLO Sea f(x) = x / (2+x) Cuando el valor de x se aproxima a - 2, por su derecha o por su izquierda, la gráfica tiende a juntarse con la recta vertical x = - 2. Por ello x= - 2 es una Asíntota Vertical. Cuando el valor de x aumenta o disminuye en exceso, vemos que la gráfica tiende a juntarse con la recta y = 1. Por ello la recta y=1 es una Asíntota Horizontal. y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Y OTRO EJEMPLO Sea f(x) = x / (x2 + 1) Cuando el valor de x aumenta o disminuye en exceso, x ± oo, el valor de f(x) tiende a cero. La gráfica tiende a juntarse con el eje de abscisas x=0 Por ello la recta y=0 es una Asíntota Horizontal. Como se aprecia no existen asíntotas verticales ni oblicuas. y Máx -1 -0,5 0,5 1 -2 -1 0 1 2 x Mín @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT ASÍNTOTAS ASÍNTOTAS VERTICALES La recta x = a es una asíntota vertical de la función f si: Lím f(x) = ± oo x a Pueden ser asíntotas verticales todas las rectas x=a, donde “a” no forma parte del dominio de las funciones racionales. EJEMPLO_1 Sea la función f(x) = 3 / (x – 2) En x = 2 la función no existe. Lím f(x) = Lím ( 3 / (x – 2) = 3 / (2-2) = 3 / 0 = oo x 2 x  2 x = 2 es una Asíntota Vertical. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT ASÍNTOTAS HORIZONTALES La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si: Lím f(x) = b x ± oo En la práctica si una función presenta asíntotas verticales y asíntotas horizontales, podemos descartar en la mayoría de los casos que presente asíntotas oblicuas. Ejemplo_1 Sea la función f(x) = 1 / x Lím f(x) = Lím 1 / x = 1 / oo = 0 x oo La recta y = 0 es una Asíntota Horizontal. La función f(x) = k / (x – m) , para cualquier valor real de k y de m, tendría un comportamiento similar a la del ejemplo cuando x  ± oo @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT ASÍNTOTAS OBLICUAS La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función f si: f(x) Lím ------ = m y Lím [ f(x) – m.x ] = n x ± oo x x± oo En la práctica, siempre que una función racional no presente asíntotas horizontales debemos suponer que existen asíntotas oblicuas. Ejemplo_1 Sea la función: f(x) = (x2 – 3) / x f(x) x2 – 3 x2 3 m = Lím ------ = Lím -------- = Lím ----- – ---- = 1 – 0 = 1 x oo x x oo x2 x oo x2 x2 n = Lím [ f(x) – m.x ] = Lím [(x2 – 3) / x - x = Lím [- 3 / x2 ] = 0 xoo xoo La recta y = 1.x + 0  y = x es una asíntota oblicua. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT OTRA FORMA DE HALLAR ASÍNTOTAS OBLICUAS Se efectúa la división de polinomios indicada en la función: f(x) = D(x)/d(x) Quedando: f(x) = c(x) + r(x)/d(x) El cociente c(x) resultante es la asíntota oblicua: y = c(x) Ejemplo_1 Sea la función: f(x) = (x2 – 3) / x x2 – 3 - 3 -------- = x + ----- ; y = x es la asíntota oblicua ; - 3 es el resto x x Ejemplo_3 Sea la función: f(x) = (x2 – 5.x + 3) / (x – 1) x2 – 5.x + 3 - 1 ---------------- = x – 4 + -------- ; y = x – 4 es la asíntota oblicua ; - 1 es el resto x – 1 x – 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Gráfica Ejemplo_1 Y 1 x2 – 3 f(x) = -------- x Límite por la derecha de 0: x2 – 3 – 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x0+ x +0 pues x vale algo más de 0. Límite por la izquierda de 0: lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x0- x - 0 0 3 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Gráfica Ejemplo_2 Y x2 + 3 f(x) = -------- x Límite por la derecha de 0: x2 + 3 +3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x0+ x +0 pues x vale algo más de 0. Límite por la izquierda de 0: x2 + 3 + 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x0- x - 0 Mín 0 3 x Max @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT