MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTES TEMA 4.5 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Recordando cálculo matriz inversa MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Se coloca la matriz A y a su lado la matriz I separadas por una raya vertical de puntos. A continuación se procede a efectuar sobre las filas de A una serie de operaciones elementales, las mismas y al mismo tiempo que sobre las filas de la matriz I. Cuando, actuando así, hemos logrado transformar la matriz A en la I, la matriz de la derecha, que es la I transformada, será la inversa de A. Es decir: (A | I) las mismas operaciones en ambas  ( I | A – 1 ) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. MATRIZ INVERSA Cálculo de la matriz inversa usando determinantes Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij). Si tenemos una matriz tal que det (A) <> 0, se verifica: Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas). @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Ejemplo 1 Realizado por Gauss-Jordan: Dada la matriz de orden 2: 3 4 -1 -3 2 A = , la inversa es A = 5 6 5/2 -3/2 Veamos por determinantes: |A|= 3.6 – 4.5 = 18 – 20 = – 2 <> 0 La matriz es inversible, pues |A|<>0 La matriz de los adjuntos será: 6 -5 t 6 -4 [Adj(A)] = , la traspuesta será [Adj(A)] = -4 3 -5 3 Luego la matriz inversa es: 6/(-2) -4/(-2) -3 2 = = -5/(-2) 3/(-2) 5/2 -3/2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Ejemplo 2 Realizado por Gauss-Jordan: Dada la matriz de orden 3: 3 4 0 -1 4/33 -6/11 -1/11 A = -2 1 -1 , su inversa es A = 7/44 9/22 3/44 5 0 6 -1/12 1/2 1/4 Veamos por determinantes: |A|= 18 – 20 + 48 = 46 <> 0 La matriz es inversible, pues |A|<>0 La matriz de los adjuntos será: 6 -7 -5 t 6 -24 -4 [Adj(A)] = -24 18 5 , la traspuesta será [Adj(A)] = -7 18 3 -4 3 -5 -5 5 5 Luego la matriz inversa es: 6/46 -24/46 -4/46 = -7/46 18/46 3/46 -5/46 5/46 5/46 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Ejemplo 3 Dada la matriz de orden 3: 1 4 0 1 A = 0 1 -1 2 , hallar su inversa y comprobarlo. 0 0 2 0 0 0 0 1 Veamos por determinantes: |A|= 2 <> 0 La matriz es inversible, pues |A|<>0 La matriz de los adjuntos será: 2 0 0 0 t 2 -8 -4 14 [Adj(A)] = -8 2 0 0 , la traspuesta será [Adj(A)] = 0 2 1 -4 -4 1 1 0 0 0 1 0 14 -4 0 2 0 0 0 2 Luego la matriz inversa es: 1 - 4 -2 7 = 0 1 ½ -2 0 0 ½ 0 0 0 0 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.