Apuntes 1º Bachillerato CT TEMA 7 Números complejos @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA TEMA 7.6 * 1º BCT TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 2
Apuntes 1º Bachillerato CT TEOREMA FUNDAMENTAL Teorema fundamental del álgebra Toda ecuación algebraica de grado n, con coeficientes reales o complejos, tiene n raíces ó soluciones. Ejemplos Soluciones a) z3 – 2.z2 + 4.z – 8 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 3
Apuntes 1º Bachillerato CT Haciendo ecuaciones Encuentra una ecuación que tenga por raíces: 1º.- z1 = 2, z2 = – 4i, z3 = + 4i (z – 2).(z + 4i).(z – 4i) = 0 (z – 2).(z2 – 16i2) = 0 (z – 2).(z2 + 16) = 0 z3 – 2.z2 + 16.z – 32 = 0 2º.- z1 = 1, z2 = – 1, z3 = i y z4 = – i (z – 1).(z + 1).(z – i). (z + i) = 0 (z2 – 1).(z2 – i2) = 0 (z2 – 1).(z2 + 1) = 0 z4 – 1 = 0 3º.- z1 = 2, z2 = 1 – 4i, z3 = – 3 y z4 = 1 + 4i (z – 2).(z – (1 – 4i)).(z +3). (z – (1 + 4i)) = 0 (z2 + z – 6). (z – 1 + 4i).(z – 1 – 4i) = 0 (z2 + z – 6). (z2 – 2z + 1 + 16) = 0 z4 – z3 + 9.z2 + 29.z – 102 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 4
Apuntes 1º Bachillerato CT Encuentra una ecuación que tenga por raíces: 4º.- z1 = 2i, z2 = – i, y z3 = – 3i (z – 2i).(z + i).(z + 3i) = 0 (z2 – zi + 2).(z + 3i) = 0 z3 + (3i – i).z2 + (2 – 3i2).z + 6i = 0 z3 + 2i.z2 + 5.z + 6i = 0 5º.- z1 = i, z2 = – i, z3 = 3i , z4 = – 3i , z 5 = 2 (z – i).(z + i).(z + 3i) .(z – 3i).(z – 2) = 0 (z2 – i2). (z2 – (3i)2).(z – 2) = 0 (z2 + 1). (z2 + 9).(z – 2) = 0 (z4 + 10.z2 + 9).(z – 2) = 0 z5 + 10.z3 + 9.z – 2.z4 – 20.z2 – 18 = 0 z5 – 2.z4 + 10.z3 – 20.z2 + 9.x – 18 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 5
Apuntes 1º Bachillerato CT FORMA EXPONENCIAL Forma Exponencial o de Euler. Un número complejo en forma trigonométrica se expresa como: z = r(cos α + i.sen α). Si sustituimos el contenido del paréntesis por la igualdad de Euler: eiα = cos α + i.sen α Nos queda: z = r·eiα Ejemplos z =230º z = 2.ei30º z =345º z = 3.ei45º z =160º z = ei60º z =√2180º z = √2.ei180º @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT