Clase 9 TRANSFORAMCIONES ORTOGONALES Y UNITARIAS
TRANSFORMACIONES UNITARIAS 1-1 Def: Una transformación T es UNITARIA cuando T preserva el producto interno, esto es: <T(v),T(w)>=<v,w> para todo v,w, en V. En el caso particular en que el cuerpo son los reales decimos que T es ortogonal.
TRANSFORMACIONES UNITARIAS 1-2 Proposición: Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre K y T un operador lineal. Son equivalentes: (a) T es unitaria (T conserva el producto interno). (b) T conserva la norma(||T(v)||=||v|| para todo v en V). (c) T lleva bases ortonormales en bases ortonormales.
TRANSFORMACIONES UNITARIAS 1-3 (d) T lleva una base ortonormal en otra base ortonormal de V.
MATRICES ORTOGONALES Y UNITARIAS 2-1
MATRICES ORTOGONALES Y UNITARIAS 2-2
MATRICES Y TRANSFORMACIONES ORTOGONALES Y UNITARIAS 3-1
MATRICES Y TRANSFORMACIONES ORTOGONALES Y UNITARIAS 3-2
TEOREMA ESPECTRAL PARA T. UNITARIAS Sea V un espacio vectorial complejo (K=C) de dimensión finita. Si T es unitaria Existe una base ORTONORMAL de V formada por vectores propios de T . Existe también una “especie” de recíproco:
Proposición: Sea V un espacio vectorial Complejo (K=C) de dimensión finita. Si existe una base ortonormal de V formada por vectores propios de T y los valores propios de T tienen módulo 1 T es unitaria.