Apuntes de Matemáticas 3º ESO Polinomios U.D. 4 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO REGLA DE RUFFINI U.D. 4.7 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

División y ceros de polinomios REGLA DE RUFFINI Cuando se trate de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x - a), siendo a un número, la división de puede realizar de esta forma: 1.‑ Se reduce el dividendo. 2.‑ Se ordena el dividendo forma decreciente. 3.‑ Si el dividendo es incompleto, poner ceros. 4.‑ Se colocan en fila los coeficientes del dividendo, incluídos los ceros. 5.- Se coloca a la izquierda el valor del número a. 6.- Se aplicar el algoritmo correspondiente de Ruffini. 7.‑ Los números obtenidos son los coeficientes del cociente, salvo el último que es el resto de la división. 8.- Se puede comprobar el resultado, pues siempre se cumplirá: D(x) = d(x).c(x) + r(x). @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Ejemplo_1 de división por Ruffini Sea ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x - 3 ) , donde a = 3 1 4 0 - 5 + 3 3 21 63 1 7 21 58 C(x) = 1.x2 + 7.x + 21 R(x) = 58 Podemos comprobar la división: (x3 + 4.x2 - 5) = (x - 3).(x2 + 7.x + 21) + 58 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Ejemplo_2 de división por Ruffini Sea ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x + 5 ) , donde a = - 5 1 4 0 - 5 + - 5 - 5 5 - 25 1 - 1 5 - 30 C(x) = 1.x2 - 1.x + 5 R(x) = - 30 Podemos comprobar la división: (x3 + 4.x2 - 5) = (x + 5 ).(x2 - x + 5) + (- 30) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Ejemplo_3 de división por Ruffini Sea ( 4.x3 + 5.x - 3 ) : ( x + 2 ) , donde a = - 2 4 0 5 - 3 + - 2 - 8 16 - 42 4 - 8 21 - 45 C(x) = 4.x2 - 8.x + 21 R(x) = - 45 Podemos comprobar la división: ( 4.x3 + 5.x - 3 ) = ( x + 2 ).(4.x2 - 8.x + 21) + (- 45) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Método escalonado de Ruffini 1 - 3 3 - 1 + 1 1 - 2 1 1 - 2 1 0 1 1 - 1 1 - 1 0 1 1 1 0 Sea P(x) = x3 - 3 x2 + 3.x - 1 Hallar los ceros o raíces. PRE = {1, -1} , P(1) = 0 El 1 es un cero o raíz. ¿Y los otros dos?. Utilizamos el método escalonado de Ruffini. P(x) = x3 - 3 x2 + 3.x - 1 P(x) = (x – 1). ( x2 – 2.x + 1) P(x) = (x – 1).(x – 1).(x – 1) P(x) = (x – 1)3 La raíz es triple. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Método escalonado de Ruffini 1 3 0 - 4 + 1 1 4 4 1 4 4 0 - 2 - 2 - 4 1 2 0 - 2 - 2 1 0 Sea P(x) = x3 + 3. x2 - 4 Hallar los ceros o raíces. PRE = {1, -1, 2 , -2 , 4 , -4} , P(1) = 0 El 1 es un cero. ¿Y los otros dos?. Utilizamos el método escalonado de Ruffini. P(x) = x3 + 3. x2 - 4 P(x) = (x – 1). ( x2 + 4.x + 4) P(x) = (x – 1).(x + 2).(x + 2) x = – 2 es una raíz doble. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Método escalonado de Ruffini 1 3 0 - 4 + 1 1 4 4 1 4 4 0 - 2 - 2 - 4 1 2 0 - 2 - 2 1 0 Sea P(x) = x4 + 3. x3 - 4.x Hallar los ceros o raíces. Al no tener término independiente extraigo x como factor común: P(x) = x.(x3 + 3. x2 - 4) x=0 es un cero o raíz de P(x) El polinomio entre paréntesis es el mismo que en el ejercicio anterior. Luego tengo: P(x) = x.(x – 1). ( x2 + 4.x + 4) P(x) = x.(x – 1).(x + 2).(x + 2) Es lo mismo x que (x – 0) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Método escalonado de Ruffini Sea P(x) = x4 – 3.x3 – 7.x2 + 27.x – 18 Halla las raíces y factoralizalo. PRE={1 , -1 , 2 , -2 , 3 , -3 , 6 , -6, 9, -9, 18, -18} P(1) = 1 – 3 – 7 + 27 – 18 = 0 P(– 1) = – 48 <> 0  x = - 1 no es raíz. P(2) = 16 – 24 – 28 + 54 – 18 = 0  x = 2 es otra raíz. Dividimos P(x) entre (x – 1) y (x – 2) por la Regla de Ruffini: 1 - 3 - 7 27 -18 1 1 - 2 - 9 18 -------------------------------------------- 1 - 2 - 9 18 0 2 2 0 -18 -------------------------------------- 1 0 - 9 0  C(x) = x2 – 9  C(x) = (x + 3).(x – 3) Quedaría: P(x) = (x – 1).(x – 2).(x + 3).(x – 3) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO