LÍMITES

LÍMITES. CONTINUIDAD. LÍMITE EN UN PUNTO a: lim x  a f(x) = ℓ Se dice que ℓ es el límite de f(x) cuando x tiende a a si para cualquier  > 0, existe  (dependiente de ) tal que si |x – a| <  (x  a) entonces |f(x) – ℓ| <  En términos coloquiales: Si x está cerquita de a, entonces, f(x) se aproxima mucho a ℓ. Ejemplo: lim x2 (x2 – 3) = 1 porque si x es un valor cercano a 2, entonces x2 – 3 alcanzará un valor muy próximo a 22 – 3 = 1 Sea la función f(x) = En este caso, decir que x 2 no aclara mucho, porque nos podemos acercar a 2 por la izquierda o por la derecha de 2. Así, si nos acercamos a 2 por la izquierda, es decir, x < 2, entonces el límite sería 2 – 1 = 1. Pero si lo hacemos por la derecha, el límite es, como hemos visto, 1. Esto nos lleva a plantear el concepto de LÍMITES LATERALES.

LÍMITES. CONTINUIDAD. LÍMITE EN UN PUNTO a: LÍMITES LATERALES. Se dice que ℓ– es el límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a a si para cualquier  > 0, () tal que si, x < a, a – x <  entonces |f(x) – ℓ–| <  . Se indica: Se dice que ℓ+ es el límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a a si para cualquier  > 0, () tal que si, x > a, x – a <  entonces |f(x) – ℓ+| <  . Se indica: Se verifica que:  lim x  a f(x) = ℓ 

LÍMITES. CONTINUIDAD. LÍMITE EN UN PUNTO a: LÍMITE INFINITO. Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es infinito si para cualquier M > 0, existe  tal que si |x – a| <  (x  a) entonces |f(x)| > M Dependiendo del signo que tome f(x), se puede tener: limxaf(x) = – si |x – a| <   f(x) < –M limxaf(x) = + si |x – a| <   f(x) > M Ejemplo 1: porque podemos tomar valores de x cercanos a 0, de manera que f(x) se haga tan grande como queramos. Ejemplo 2:

LÍMITES. CONTINUIDAD. LÍMITES EN EL INFINITO. Se dice que  es el límite de f(x) cuando x tiende a  si para cualquier  > 0 podemos encontrar K > 0 (K dependiente de ) de manera que |f(x) - | <  siempre que x > K. Ejemplo 1: porque podemos tomar valores de x suficientemente grandes como para que f(x) se haga tan pequeño como queramos. Se dice que  es el límite de f(x) cuando x tiende a – si para cualquier  > 0 podemos encontrar K > 0 (K dependiente de ) de manera que |f(x) - | <  siempre que x < –K. Ejemplo 2: porque mientras más grande sea x en valor absoluto, pero con signo negativo, más próximo a cero estará ex.

LÍMITES. CONTINUIDAD. LÍMITES EN EL INFINITO. Se dice que el límite de f(x) cuando x  + es infinito si para cualquier M > 0 podemos encontrar K > 0 (K dependiente de ) de manera que |f(x)| > M siempre que x > K. Pueden darse las dos situaciones siguientes: Ejemplo 1: limx+(x3 – 2) = + limx+(1 – x) = – Se dice que el límite de f(x) cuando x  – es infinito si para cualquier M > 0 podemos encontrar K > 0 (K dependiente de ) de manera que |f(x)| > M siempre que x < –K. Pueden darse las dos situaciones siguientes: Ejemplo 2: limx–(x3 – 2) = – limx–(1 – x) = +

LÍMITES. CONTINUIDAD. LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL INFINITO. INTERPRETACIÓN GRÁFICA Una ASÍNTOTA de una curva es una recta tangente a la curva en el infinito. La recta y la curva tienden a confundirse conforme nos alejamos al infinito. ASÍNTOTAS VERTICALES. La gráfica de una función y = f(x) tiene una asíntotal vertical x = a si se cumple alguna de las igualdades siguientes: limxaf(x) = – limxaf(x) = + Para ser asíntota basta que sea infinito alguno de los límites laterales.

LÍMITES. CONTINUIDAD. LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL INFINITO. INTERPRETACIÓN GRÁFICA ASÍNTOTAS HORIZONTALES. La gráfica de una función y = f(x) tiene una asíntotal horizontal y = a si se cumple alguna de las igualdades siguientes: limx – f(x) = a limx + f(x) = a ¡Ojo! Una recta puede ser asíntota en – y no serlo en + (y viceversa).

LÍMITES. CONTINUIDAD. CÁLCULO DE LÍMITES. lim xa [f(x)  g(x)] = lim xa f(x)  lim xa g(x) lim xa [f(x) · g(x)] = lim xa f(x) · lim xa g(x) Teniendo en cuenta las limitaciones algebraicas de la operación.

LÍMITES. CONTINUIDAD. CÁLCULO DE LÍMITES. INDETERMINACIONES Hay situaciones en las que las reglas anteriormente vistas no arrojan un resultado determinado de forma general, sino que hay que estudiar cada caso concreto. Son las denominadas INDETERMINACIONES. Sean a = lim xa f(x) y b = lim xa g(x) a , b números reales Entonces lim xa [f(x)  g(x)] = a  b Hay que considerar con cuidado los casos de límites infinitos: Si lim xa f(x) = ± y lim xa g(x) = b lim xa [f(x) + g(x)] = ± + b = ± Si lim xa f(x) = + y lim xa g(x) = + lim xa [f(x) + g(x)] = + + (+) = + Si lim xa f(x) = – y lim xa g(x) = – lim xa [f(x) + g(x)] = – + (–) = – Pero: + –  = ? Ahora bien:

LÍMITES. CONTINUIDAD. CÁLCULO DE LÍMITES. INDETERMINACIONES ¿Por qué es INDETERMINACIÓN  – ? Caso 1: Pero: Caso 2: Pero: Caso 3: Pero: Por tanto, de antemano no podemos establecer el resultado. Ese es el significado del término INDETERMINACIÓN.

LÍMITES. CONTINUIDAD. CÁLCULO DE LÍMITES. INDETERMINACIONES Sean a = lim xa f(x) y b = lim xa g(x) a , b números reales Entonces lim xa [f(x) · g(x)] = a · b Casos de límites infinitos (¡Ojo! Hay que tener en cuenta la regla de los signos): Si lim xa f(x) = ± y lim xa g(x) = b lim xa [f(x) · g(x)] = ± · b = ± Si lim xa f(x) = + y lim xa g(x) = + lim xa [f(x) · g(x)] = + · (+) = + Si lim xa f(x) = – y lim xa g(x) = – lim xa [f(x) · g(x)] = – · (–) = + Si lim xa f(x) = – y lim xa g(x) = + lim xa [f(x) · g(x)] = – · (+) = – Hay que prestar atención al caso en que un límite es 0 y el otro . Veamos que se trata de un caso de indeterminación…

LÍMITES. CONTINUIDAD. CÁLCULO DE LÍMITES. INDETERMINACIONES ¿Por qué es INDETERMINACIÓN 0·? Caso 1: Pero: Caso 2: Pero: Caso 3: Pero: Por tanto, de antemano no podemos establecer el resultado de 0·. Ese es el significado del término INDETERMINACIÓN.

LÍMITES. CONTINUIDAD. CÁLCULO DE LÍMITES. INDETERMINACIONES Sean lim xa f(x) = a y lim xa g(x) = b ≠ 0 a , b números reales Entonces lim xa [f(x) : g(x)] = a : b Casos de límites infinitos (¡Ojo! Hay que tener en cuenta la regla de los signos): Si lim xa f(x) = ± y lim xa g(x) = b lim xa [f(x) : g(x)] = ± : b = ± Si lim xa f(x) = ± y lim xa g(x) = ±  lim xa [f(x) : g(x)] = ±  : (± ) = ¿? También hay que tener especial cuidado cuando alguno de los límites es 0 Si lim xa f(x) = 0 y lim xa g(x) = b ≠ 0 lim xa [f(x) : g(x)] = 0 : b = 0 Si lim xa f(x) = a y lim xa g(x) = 0 lim xa [f(x) : g(x)] =  ¡Ojo, signos! Si lim xa f(x) = 0 y lim xa g(x) = 0 lim xa [f(x) : g(x)] = 0 : 0 = ¿? Veamos por qué son casos de indeterminación…

LÍMITES. CONTINUIDAD. CÁLCULO DE LÍMITES. INDETERMINACIONES ¿Por qué es INDETERMINACIÓN  / ? Caso 1: Pero: Caso 2: Pero: Caso 3: Pero: Por tanto, de antemano no podemos establecer el resultado de /. Ese es el significado del término INDETERMINACIÓN.

LÍMITES. CONTINUIDAD. CÁLCULO DE LÍMITES. INDETERMINACIONES ¿Por qué es INDETERMINACIÓN 0 / 0? Caso 1: Pero: Caso 2: Pero: Caso 3: Pero: Por tanto, de antemano no podemos establecer el resultado de 0/0. Ese es el significado del término INDETERMINACIÓN.

LÍMITES. CONTINUIDAD. CÁLCULO DE LÍMITES. INDETERMINACIONES También se producen indeterminaciones en la aplicación de la operación de exponenciación. Tales indeterminaciones son: 1 00 0 No obstante, no serán objeto de estudio durante este curso.

LÍMITES. CONTINUIDAD. CÁLCULO DE LÍMITES. ELIMINACIÓN DE INDETERMINACIONES INDETERMINACIONES DEL TIPO  –  FUNCIONES POLINÓMICAS. Ejemplo: limx+(x3 – x) = limx+x3 – limx+ x =  –  INDETERMINACIÓN Pero En general limx+(anxn + an–1xn–1 + ··· + a1x + a0) = Es decir: limx+(anxn + an–1xn–1 + ··· + a1x + a0) = limx+anxn Y análogamente ocurre con los límites en –

LÍMITES. CONTINUIDAD. CÁLCULO DE LÍMITES. ELIMINACIÓN DE INDETERMINACIONES INDETERMINACIONES DEL TIPO  –  Ejemplo: ℓ = =  –  INDETERMINACIÓN Este tipo de indeterminaciones se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado de la expresión que hay entre paréntesis:

LÍMITES. CONTINUIDAD. CÁLCULO DE LÍMITES. ELIMINACIÓN DE INDETERMINACIONES INDETERMINACIONES DEL TIPO Ejemplo: ℓ = = INDETERMINACIÓN Pero hemos visto que: limx+(2x2 – 5x + 3) = limx+2x2 limx+(x2 – 5x + 4) = limx+x2 Por tanto: En general:

LÍMITES. CONTINUIDAD. CÁLCULO DE LÍMITES. ELIMINACIÓN DE INDETERMINACIONES INDETERMINACIONES DEL TIPO Ejemplo: ℓ = = INDETERMINACIÓN Por las mismas razones que hemos visto en el ejemplo anterior: En general, si m > n:

LÍMITES. CONTINUIDAD. CÁLCULO DE LÍMITES. ELIMINACIÓN DE INDETERMINACIONES INDETERMINACIONES DEL TIPO Ejemplo: ℓ = = INDETERMINACIÓN Por las mismas razones que hemos visto en el ejemplo anterior: En general, si m < n:

LÍMITES. CONTINUIDAD. CÁLCULO DE LÍMITES. ELIMINACIÓN DE INDETERMINACIONES INDETERMINACIONES DEL TIPO Ejemplo: ℓ = = INDETERMINACIÓN Si tanto numerador como denominador se anulan para x = 1, es porque 1 es raíz de cada uno de los polinomios. Así pues, ambos son factorizables con factor común (x – 1): En general, cuando se trate de un cociente de polinomios, se factorizan numerador y denominador, se simplifica y luego se vuelve a tomar límite.

LÍMITES. CONTINUIDAD. UN CASO ESPECIAL DE INDETERMINACIÓN DEL TIPO Sea x un ángulo del primer cuadrante (medido en radianes) Observando la figura, tenemos que: senx = AB cosx = OA tanx = CD OD = OC = 1 Área del triángulo OCD = ½ ·|OC|·|CD| = ½ tanx = ½ senx/cosx Área del sector circular OCB = ½ ·ArcoBC·Radio = ½ ·x·1 = ½ x Área del triángulo OAB = ½ ·|OA|·|AB| = ½ senx · cosx Área del triángulo OAB < Área del sector circular OCB < Área del triángulo OCD cosx· senx < x < tanx  cosx· senx < x < senx/cosx Dividimos todo por senx > 0: Y tomando limx0: Por tanto:

LÍMITES. CONTINUIDAD. CONTINUIDAD DE FUNCIONES Se dice que una función f(x) es CONTINUA en un punto a  si: 1) a  Dom f, es decir, f(a) 2)  limxaf(x) = ℓ 3) f(a) = ℓ 2.1)  limxa–f(x) = ℓ– 2,2)  limxa+f(x) = ℓ+ 2.3) ℓ– = ℓ+ = ℓ Si alguna de estas tres condiciones no se cumple, diremos que la función es DISCONTINUA en a. Conviene tener en cuenta para algunos casos que el punto 2) puede desglosarse en otros tres. En términos coloquiales, podemos afirmar que una función continua es aquella cuya gráfica puede trazarse sin levantar el lápiz del papel (¡Sin trucos, claro!). Se dice que una función f(x) es continua en un intervalo [a, b] si lo es en cada uno de los puntos del intervalo.

LÍMITES. CONTINUIDAD. CONTINUIDAD DE FUNCIONES Ejemplo 1: f(x) = x2 + 1 es continua en cualquier punto x =  1)   Dom f, porque Dom f = (–, +) 2)  limxf(x) = limx(x2 + 1) = 2 + 1 = ℓ 3) f() = 2 + 1 = ℓ Todas las funciones polinómicas son continuas en Ejemplo 2: f(x) = es continua en x = 1 1) 1  Dom f, porque en la 2ª línea está contemplado x = 1  f(1) = 7 – 2·1 = 5 2.1)  limx1–f(x) = limx1(3x + 2) = 3·1 + 2 = 5 = ℓ– 2,2)  limx1+f(x) = limx1(7 – 2x) = 7 – 2·1 = 5 = ℓ+ 2.3) ℓ– = ℓ+ = ℓ = 5 2) 3) f(1) = 5 = ℓ

LÍMITES. CONTINUIDAD. CONTINUIDAD DE FUNCIONES Ejemplo 3: Estudia si f(x) = es continua en x = 2 1) 2  Dom f, porque en la 2ª línea está contemplado x = 2  f(2) = 4·2 – 7 = 1 2.1)  limx2–f(x) = limx2(x2 – 3) = 22 – 3 = 1 = ℓ– 2,2)  limx2+f(x) = limx2(4x – 7) = 4·2 – 7 = 1 = ℓ+ 2.3) ℓ– = ℓ+ = ℓ = 1 2) 3) f(2) = 1 = ℓ Ejemplo 4: Determina el valor de k para que f(x) = sea continua en x = 0 1) 0  Dom f, porque en la 1ª línea está contemplado x = 0  f(0) = 03 + 5·0 = 0 2.1)  limx0–f(x) = limx0(x3 + 5x) = 03 + 5·0 = 0 = ℓ– 2,2)  limx0+f(x) = limx0(3x + k) = 3·0 + k = k = ℓ+ 2.3) Si queremos que ℓ– = ℓ+ = ℓ, debe cumplirse que k = 0. 2) 3) En tal caso, f(0) = 0 = ℓ

CONTINUIDAD DE FUNCIONES. CLASIFICACIÓN DE LAS DISCONTINUIDADES LÍMITES. CONTINUIDAD. CONTINUIDAD DE FUNCIONES. CLASIFICACIÓN DE LAS DISCONTINUIDADES Hemos visto que una función f(x) es CONTINUA en un punto a  si: 1) a  Dom f, es decir, f(x) 2)  limxaf(x) = ℓ 3) f(a) = ℓ 2.1)  limxa–f(x) = ℓ– 2,2)  limxa+f(x) = ℓ+ 2.3) ℓ– = ℓ+ = ℓ I. No se cumple 1), o 3) pero sí se cumple 2)  DISCONTINUIDAD EVITABLE. Ejemplo 1: Estudia si f(x) = es continua en x = 2 1) 2  Dom f, porque no aparece en la definición. 2.1)  limx2–f(x) = limx2(x2 + 1) = 22 + 1 = 5 = ℓ– 2,2)  limx2+f(x) = limx2(x + 3) = 2 + 3 = 5 = ℓ+ 2.3) ℓ– = ℓ+ = ℓ = 5 2) 3) No tiene sentido estudiar este punto. Ejemplo 2: Estudia si f(x) = es continua en x = 2 La diferencia con el caso anterior es que quí sí se cumple 1), pero NO se cumple 3)

LÍMITES. CONTINUIDAD.

DISCONTINUIDAD DE SALTO (1ª especie) LÍMITES. CONTINUIDAD. CONTINUIDAD DE FUNCIONES. CLASIFICACIÓN DE LAS DISCONTINUIDADES Hemos visto que una función f(x) es CONTINUA en un punto a  si: 1) a  Dom f, es decir, f(x) 2)  limxaf(x) = ℓ 3) f(a) = ℓ 2.1)  limxa–f(x) = ℓ– 2,2)  limxa+f(x) = ℓ+ 2.3) ℓ– = ℓ+ = ℓ II. No se cumple 2.3), [No tiene sentido 3)] pero sí se cumplen 2.1), 2.2): DISCONTINUIDAD DE SALTO (1ª especie) Si |ℓ+ – ℓ–| es un número (finito) se dice ‘de SALTO FINITO’ Si ℓ+ =  o ℓ– = , se dice ‘de SALTO INFINITO’ III. No se cumple 2.1) o 2.2): DISCONTINUIDAD ESENCIAL (2ª especie)

LÍMITES. CONTINUIDAD. CONTINUIDAD DE FUNCIONES. CLASIFICACIÓN DE LAS DISCONTINUIDADES Ejemplo 3: Estudia la continuidad de f(x) = en x = 2 1) 2  Dom f, porque en la 2ª línea está contemplado x = 2  f(2) = 2 + 3 = 5 2.1)  limx2–f(x) = limx2(x2 – 1) = 3 = ℓ– 2,2)  limx2+f(x) = limx2(x + 3) = 5 = ℓ+ 2.3) ℓ– ≠ ℓ+  No existe ℓ. Pero | ℓ+ – ℓ–| = 5 – 3 = 2 2) Por tanto hay discontinuidad de salto finito. La magnitud del salto es 2.

LÍMITES. CONTINUIDAD. CONTINUIDAD DE FUNCIONES. CLASIFICACIÓN DE LAS DISCONTINUIDADES Ejemplo 4: Estudia la continuidad de f(x) = en x = 0 1) 0  Dom f, porque el denominador no puede ser cero. Pero esta condición no define el tipo de discontinuidad. 2.1)  limx0–f(x) = – = ℓ– 2,2)  limx0+f(x) = + = ℓ+ 2.3) ℓ– ≠ ℓ+  No existe ℓ. 2) Por tanto hay discontinuidad de salto infinito. Ejemplo 5: Estudia la continuidad de f(x) = sen en x = 0 No existen ninguno de los límites laterales. La función seno es acotada (se mantiene entre –1 y 1) pero está continuamente fluctuando. Discontinuidad esencial.

FÍN DEL CAPÍTULO