Apuntes Matemáticas 2º ESO Angel Prieto Benito U. D. 10 * 4º ESO E. AP. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. Ver dinámica en www.apbweb.es

Apuntes Matemáticas 2º ESO Angel Prieto Benito U. D. 10.7 * 4º ESO E. AP. TASA DE VARIACIÓN MEDIA @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. Ver dinámica en www.apbweb.es

Incremento de una función Sea la función f(x) = x  F. Lineal (color verde) Sea la función g(x) = x2  F. Cuadrática (color rojo) Ambas funciones presentan el mismo incremento de la función: Δy = f(4) – f(0) = 4 Δy = g(2) – g(0) = 22 – 0 = 4 Sin embargo g(x) ha crecido mucho más deprisa que f(x), su crecimiento medio es mayor: En f(x): Δy / Δx = 4 / 4 = 1 En g(x): Δy / Δx = 4 / 2 = 2 Su crecimiento medio es el doble. y 4 g(x) f(x) 0 2 4 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Incremento de una función Sea la función f(x) = – x  F. Lineal (color verde) Sea la función g(x) = – x2  F. Cuadrática (color rojo) Ambas funciones presentan el mismo incremento de la función: Δy = f(4) – f(0) = – 4 Δy = g(2) – g(0) = – 22 – 0 = – 4 Sin embargo g(x) ha crecido mucho más deprisa que f(x), su crecimiento medio es mayor: En f(x): Δy / Δx = – 4 / 4 = – 1 En g(x): Δy / Δx = – 4 / 2 = – 2 Su crecimiento medio es el doble. Y - 4 0 2 4 x g(x) f(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Incremento de una función Sea la función f(x) = 2.x  Verde Sea la función g(x) = – x2  Rojo Ambas funciones presentan el mismo incremento de la función: Δy = f(2) – f(0) = 2.2 – 0 = 4 Δy = g(2) – g(0) = – 22 – (– 0) = – 4 Sin embargo g(x) ha crecido negativamente, mientras que f(x) ha crecido positivamente. En f(x): Δy / Δx = 4 / 2 = 2 En g(x): Δy / Δx = – 4 / 2 = – 2 Su crecimiento es opuesto. Y - 4 f(x) 0 2 x g(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

TASA DE VARIACIÓN MEDIA Dada una función f definida en un intervalo [a,b], se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA de la función f en [ a,b ] al cociente: f (b) - f(a) TVM = ----------------- b - a Como se observa en el valor de la TVM no influye el comportamiento de la función a lo largo del intervalo. Pueden existir diversas funciones que tengan la misma TVM en el mismo intervalo. b – a es la variación o incremento de x, Δx. f(b) – f(a) es la variación o incremento de f(x), Δf(x) o Δy. TVM = Δy / Δx = m , pendiente del segmento que une los extremos de la función, o sea (a, f(a)) con (b, f(b)). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

CONSECUENCIAS Si la TASA DE VARIACIÓN MEDIA de la función f en el intervalo cerrado [ a,b ] es: 1.- POSITIVA Entonces la función f es creciente en dicho intervalo [a, b]. 2.- NEGATIVA Entonces la función f es decreciente en dicho intervalo [a, b]. 3.- NULA Entonces la función f: A.- Es constante en dicho intervalo [a, b]. B.- O en dicho intervalo su crecimiento es compensado por su decrecimiento a lo largo de dicho intervalo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo 1 Sea la función f(x) = x3 – 4x Hallar la TVM de la función en: [– 4 , – 2] En [– 4, – 2] f (– 2) – f(– 4) TVM = ---------------------- = – 2 – (– 4) [(– 2)3 – 4.(– 2)] – [(– 4)3 – 4.(– 4)] = --------------------------------------------- = – 2 + 4 – 8 + 8 + 64 – 16 48 = ------------------------ = ------ = 24 2 2 Creciente en [– 4 , – 2] y=f(x) -4 -3 -2 -1 0 1 2 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo 2 Sea la función f(x) = x3 – 4x Hallar la TVM de la función en: [0 , 2] En [0 , 2] f (2) – f(0) TVM = ---------------------- = 2 – 0 [(2)3 – 4.(2)] – [(0)3 – 4.(0)] = -------------------------------------- = 2 8 – 8 – 0 + 0 0 = ------------------- = ------ = 0 2 2 y=f(x) -2 -1 0 1 2 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo 3 Sea la función f(x) = x3 – 4x Hallar la TVM de la función en: [– 1 , 1] En [– 1, 1] f (1) – f(– 1) TVM = ---------------------- = 1 – (– 1) [(1)3 – 4.(1)] – [(– 1)3 – 4.(– 1)] = --------------------------------------------- = 1 + 1 1 – 4 + 1 – 4 – 6 = ------------------- = ------ = – 3 2 2 Decreciente en [– 1, 1] y=f(x) -2 -1 0 1 2 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

RECTA SECANTE Sea la función f(x) = x3 – 4x Hallar la recta secante a la función que pasa por los puntos de abscisas x=– 4 y x = – 2] f (– 2) = 0 f(– 4) = 48 TVM ya calculada = 2 m = TVM = 2 Por la ecuación punto-pendiente: y – yo = m.(x – xo) Tomo P(xo,yo) = (– 2 , 0) Ecuación de la recta secante y – 0 = 2.(x – (– 2)) y = 2.x + 4 r: y = 2.x + 4 y=f(x) r -2 -1 0 1 2 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

RECTA SECANTE Sea la función f(x) = x3 – 4x Hallar la recta secante a la función que pasa por los puntos de abscisas x= 0 y x = 2 f (2) = 0 f (0) = 0 TVM ya calculada = 0 m = TVM = 0 Por la ecuación punto-pendiente: y – yo = m.(x – xo) Tomo P(xo,yo) = (0 , 0) Ecuación de la recta secante y – 0 = 0.(x – 0) y = 0 s: y = 0 y=f(x) s -2 -1 0 1 2 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

RECTA SECANTE Sea la función f(x) = x3 – 4x Hallar la recta secante a la función que pasa por los puntos de abscisas x= – 1 y x = 1 f (– 1) = 3 f (1) = – 3 TVM ya calculada = – 3 m = TVM = – 3 Por la ecuación punto-pendiente: y – yo = m.(x – xo) Tomo P(xo,yo) = (1 , – 3) Ecuación de la recta secante y – (– 3) = – 3.(x – 1) y + 3 = – 3.x + 3 t: y = – 3.x y=f(x) t -2 -1 0 1 2 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.