PROPORCIONALIDAD U. D. 3 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

PROPORCIONALIDAD INVERSA U. D. 3.2 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

RAZÓN Una razón es la división entre dos cantidades comparables. Se escribe: a --- y se lee “a es a b” b Al número a se le llama antecedente. Al número b se le llama consecuente. Ejemplo: Una persona lee un libro de 250 páginas en 8 horas. Hallar la razón entre el número de páginas que lee y el tiempo que tarda. 250 ------ = 31,25 8 El resultado, 31,25, es la velocidad de lectura de dicha persona. Lee a razón de 31,25 páginas por hora. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

PROPORCIÓN Una proporción es una igualdad entre dos razones. Se escribe: a c --- = ---- y se lee “a es a b como c es a d” b d PROPIEDAD FUNDAMENTAL En una proporción siempre se cumple: a.d = b.c O sea que el producto de medios (b y c) es igual al producto de extremos (a y d). Ejemplo 2,5 2 ----- = ----  2,5.4 = 5.2  10 = 10 , luego vemos que se cumple. 5 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Proporcionalidad INVERSA Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando se cumplen dos condiciones: PRIMERA: Al aumentar una magnitud disminuye la otra. SEGUNDA: En todo momento el producto de esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. El producto, k, de esas dos magnitudes se llama constante de proporcionalidad inversa. Magnitud M a  b  c Magnitud N a’  b’  c’ a.a’ = b.b’ = c.c’ = k @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Proporcionalidad INVERSA EJEMPLO 1 Un padre decide repartir 55 € entre sus hijos en función del número de días que han llegado tarde a casa. Magnitud “Paga” 10  20  25 Magnitud “Nº días” 10  5  4 PRIMERA: Al aumentar una magnitud disminuye la otra. 10 > 20 > 25  10 < 5 < 4 SEGUNDA: El producto de esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. 10.10 = 20.5 = 25.4 = 100 , como vemos es un valor constante Las dos magnitudes dadas son inversamente proporcionales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Proporcionalidad INVERSA EJEMPLO 2 Un taxista cobra 60 € por llevar a un grupo de amigos de un pueblo a una discoteca de la capital. ¿Cuánto corresponde pagar a cada uno?. Magnitud “Coste personal” 30  15  10 Magnitud “Nº amigos” 2  4  6 PRIMERA: Al aumentar una magnitud disminuye la otra. 2 > 4 > 6  30 < 15 < 10 SEGUNDA: El producto de esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. 30.2 = 15.4 = 10.6 = 60 , como vemos es un valor constante: k = 60 Las dos magnitudes dadas son inversamente proporcionales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Proporcionalidad INVERSA EJEMPLO 3 A un prototipo de coche le sometemos a tres pruebas para ver su rendimiento y anotamos los resultados: A una velocidad media de 180 km/h tarda 3 horas en recorrer una determinada distancia, a 90 km/h tarda 6 horas, y a 60 km /h tarda 9 horas. Magnitud “Velocidad en Km/h” 180  90  60 Magnitud “Tiempo empleado” 3  6  9 PRIMERA: Al aumentar una magnitud disminuye la otra. 3 < 6 < 9  180 > 90 > 60 SEGUNDA: El producto de esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. 180·3 = 90·6 = 60·9 = 540 , como vemos es un valor constante: k = 540 Las dos magnitudes dadas son inversamente proporcionales. En este caso k es la distancia recorrida, 540 km. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Contraejemplo CONTRAEJEMPLO Tres alumnos que dedican 10, 15 y 20 horas mensuales a la lectura cometen en un mismo texto escrito 40, 30 y 20 faltas de ortografía respectivamente. Magnitud “Horas” 10  15  20 Magnitud “Faltas” 40  30  20 PRIMERA: Al aumentar una magnitud disminuye la otra. 10 > 15 > 20  40 < 30 < 20 SEGUNDA: El producto de esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. 10.40 = 400 ,, 15.30 = 450 ,, 20.20 = 400 Vemos que no es un valor constante. Las dos magnitudes dadas NO son inversamente proporcionales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Regla de tres simple inversa Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, podemos aplicar para la resolución del ejercicio la llamada REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA. Ejemplo 1 Un alumno tarda 4 horas en hacer una ruta campestre caminando a 8 km/h. ¿Cuánto tardará si camina a 12 km/h?. 8 km/h  6 horas 12 km/h  x horas Se multiplican en filas y se igualan: 8.6 = 12.x  12.x = 48  x = 48 / 12 = 4 horas La razón de proporcionalidad sería, en este caso: K = 8.6 = 12.4 = 48 En este caso 48 serían los km recorridos, que serían fijos, constantes, con independencia de la velocidad con que camine. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Regla de tres simple inversa Ejemplo 2 Si cuatro pintores nos pintas la vivienda en dos día, ¿en cuántos días nos la pintarían 5 pintores?. Suponemos que “Nº de pintores” y “Nº de días” son magnitudes que están en P.I., o sea que el rendimiento de cada pintor es el mismo en uno y otro caso. 4 p  2 días 5 p  x días Se multiplican en filas y se igualan: 4.2 = 5.x  8 = 5.x  x = 8 / 5 = 1,6 días La razón de proporcionalidad sería, en este caso: K = 4.2 = 5.1,6 = 8 En este caso 8 significaría los días que tardaría un solo pintor. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Regla de tres simple inversa Ejemplo 3 En una acampada tres amigos han llevado víveres para estar 10 días sin contacto alguno con la civilización. Pero por el camino se les unen dos turistas que van sin nada. ¿Cuántos días podrán acampar las cinco personas en estas condiciones?. Suponemos que la cantidad de comida por persona y día es siempre la misma. Y por supuesto, a mayor número de personas menos dura la comida. 3 p  10 d 5 p  x d Se multiplican en filas y se igualan: 3.10 = 5.x  30 = 5.x  x = 30 / 5 = 6 días La razón de proporcionalidad sería, en este caso: K = 3.10 = 5.6 = 30 En este caso 30 significaría los días que sobreviviría una sola persona con la cantidad de víveres llevados. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.