IV Bimestre (ACUMULATIVO III y IV) Secciones Cónicas: Circunferencia, Elipse, Parábola, Hipérbola Números Complejos Inducción Matemática Sucesiones y Series Técnicas de Conteo: Combinaciones y permutaciones Teorema del Binomio

Planificación (3 semanas) Lunes 26 de Noviembre Martes 27 de Noviembre Miércoles 28 de Noviembre Clase 1: Introducción de los temas: Planificación Ecuación de la hipérbola en su forma General Clase 2: Números Complejos: Operaciones entre números complejos. Clase 3: Números Complejos: Aplicaciones de los números complejos.

Lección de teoría N° 01: Lunes 3 de Diciembre Jueves 29 de Noviembre Viernes 30 de Noviembre Junta de Curso III Bachillerato Clase 4: Sucesiones y Series Lección de teoría N° 01: Lunes 3 de Diciembre

Ecuación de la hipérbola en su forma General Dada una ecuación del tipo 𝑨𝒙 𝟐 + 𝑩𝒚 𝟐 +𝑫𝒙+𝑬𝒚+𝑭=𝟎, 𝑨,𝑩,𝑫,𝑬,𝑭∈ℝ;𝑨≠𝟎, 𝑩≠𝟎, ésta puede transformarse en otra del tipo 𝒙−𝒉 𝟐 𝒂 𝟐 − 𝒚−𝒌 𝟐 𝒃 𝟐 =𝟏 ó 𝒚−𝒉 𝟐 𝒂 𝟐 − 𝒙−𝒌 𝟐 𝒃 𝟐 =𝟏, la cual representa la ecuación de una hipérbola con eje transverso horizontal o vertical, respectivamente. CONDICIÓN NECESARIA: Para que la ecuación cuadrática represente a una hipérbola, es que los coeficientes A y B tengan signos diferentes.

Actividad en clase N° 01 Encuentre la forma canónica de la ecuación de la hipérbola. Determine su centro, sus vértices, sus focos y sus asíntotas. 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐 +𝟐𝒙+𝟒𝒚−𝟏𝟐=𝟎 𝟒𝒙 𝟐 − 𝟗𝒚 𝟐 −𝟖𝒙+𝟑𝟔𝒚+𝟒=𝟎 𝟗𝒙 𝟐 − 𝟔𝒚 𝟐 −𝟕𝟐𝒙+𝟐𝟒𝒚+𝟔𝟔=𝟎 𝟏𝟔𝒙 𝟐 − 𝟗𝒚 𝟐 +𝟗𝟔𝒙+𝟗𝟎𝒚−𝟐𝟐𝟓=𝟎

Autoevaluación en clase N° 01 Encuentre la forma canónica de la ecuación de la hipérbola. Determine su centro, sus vértices, sus focos y sus asíntotas. Grafique. 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐 −𝟐𝒙−𝟒𝒚−𝟏𝟐=𝟎 𝟏𝟎𝟎𝒙 𝟐 −𝟏𝟔 𝒚 𝟐 +𝟏𝟎𝟎𝒙+𝟑𝟐𝒚−𝟑𝟗𝟏=𝟎 𝟕𝒙 𝟐 − 𝟓𝒚 𝟐 −𝟒𝟎𝒚−𝟏𝟕𝟎=𝟎 𝟐𝟎𝒚 𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 𝟐 −𝟏𝟔𝟎𝒚+𝟐𝟎𝒙+𝟏𝟏𝟎=𝟎

Excentricidad de las secciones cónicas El conjunto de los puntos 𝑷 𝒙,𝒚 , para los cuales el cociente de la distancia 𝑷𝑭 del foco entre la distancia 𝑷𝑳 de la recta directriz L es una constante positiva 𝒆 (𝒆𝒙𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅), satisfacen la siguiente ecuación: 𝑑(𝑃,𝐹) =𝑒 𝑑(𝑃,𝐿) La cual representa el lugar geométrica en el plano denominado cónica. Si 𝒆=𝟎, se trata de una circunferencia SI 𝒆=𝟏, se trata de una parábola Si 𝟎<𝒆<𝟏, se trata de una elipse Si 𝒆>𝟏, se trata de una hipérbola 𝑑(𝑃,𝐹) =𝑒 𝑑(𝑃,𝐿)

Dada la excentricidad, vértice o centro o foco de la sección cónica determine si es una parábola, circunferencia, elipse o hipérbola. Encuentre su ecuación en la forma canónica y general. 𝒆=𝟐; 𝒄𝒐𝒏 𝑽 − 𝟓 𝟐 , 𝟑 𝟒 𝒚 𝑶 − 𝟑 𝟐 , 𝟑 𝟒 𝒆= 𝟑 𝟒 ; 𝒄𝒐𝒏 𝑽 − 𝟏 𝟐 , 𝟕 𝟐 𝒚 𝑶 −𝟐, 𝟕 𝟐 𝒆=𝟏; 𝒄𝒐𝒏 𝑽 − 𝟓 𝟐 , 𝟑 𝟒 𝒚 𝑭 − 𝟑 𝟐 , 𝟑 𝟒 𝒆=𝟎; 𝒄𝒐𝒏 𝑷 𝟓,−𝟑 𝒚 𝑶 𝟓 𝟑 ,− 𝟏 𝟐 Actividad en clase N° 02

Encontrar la ecuación de la cónica en su forma canónica y general 𝑫𝒆𝒔𝒂𝒇í𝒐 𝒆𝒏 𝒄𝒍𝒂𝒔𝒆 Encontrar la ecuación de la cónica en su forma canónica y general 𝒆= 𝟑 𝟒 ; 𝒄𝒐𝒏 𝑽 − 𝟏 𝟐 , 𝟕 𝟐 𝒚 𝑭 −𝟐, 𝟕 𝟐

Autoevaluación en clase N° 02 Dada la ecuación de la cónica, determine su excentricidad y el tipo de cónica. Encontrar ecuación canónica 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 +𝟒𝒙−𝟏𝟎𝒚−𝟑𝟔=𝟎 𝒙 𝟐 −𝟒 𝒚 𝟐 +𝟒𝒙+𝟑𝟐𝒚−𝟔𝟒=𝟎 𝟐𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 +𝟖𝒙−𝟖𝒚−𝟒𝟖=𝟎 𝒚 𝟐 −𝟒𝒚−𝟒𝒙+𝟏𝟔=𝟎 𝟗𝒙 𝟐 + 𝟒𝒚 𝟐 −𝟏𝟖𝒙+𝟐𝟒𝒚+𝟒𝟓=𝟎 𝟒𝒚 𝟐 − 𝟑𝒙 𝟐 +𝟖𝒚−𝟏𝟐𝒙−𝟏𝟔=𝟎

Números Complejos 𝒛=𝒙+𝒚𝒊 Forma estándar 𝒛=𝒓 𝒆 𝜽𝒊 Forma polar Magnitud 𝒓= 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 Argumento 𝜽=𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒙

Objetivos Calcular potencias de la unidad imaginaria i. Simplificar expresiones complejas empleando de i y propiedades algebraicas de los números reales. Establecer condiciones para la igualdad de dos números complejos. Dados dos números complejos, realizar y verificar propiedades de las operaciones de suma, producto y division entre ellos. Aplicar las propiedades de la suma y producto para realizar operaciones con números complejos.

Aplicar propiedades del módulo y el argumento para realizar operaciones con números complejos. Dado un número complejo, expresarlo en notación de Euler. Dado dos o más números complejos, realizar operaciones de multiplicación, división y potenciación empleando la identidad de Euler. Dado un número complejo, hallar sus n raíces y explicar la relación geométrica entre ellas

Actividad N° 03: Operaciones con números complejos Simplificar y calcular el argumento y magnitud de los siguientes números complejos y expresarlos en su forma polar: a) 𝟐+𝒊 𝟓 b) 𝟏𝟑 𝟐−𝟑𝒊 c) 𝟑+𝟐𝒊 𝟐 𝟐+𝟑𝒊 𝟑 d) 𝒊 𝟑 −𝟐𝒊 𝟐+ 𝟑 𝒊 e) 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟑 −𝟓 +𝟑𝒔𝒆𝒏 𝝅 𝟑 −𝟓 𝒊 𝟔 Actividad N° 03: Operaciones con números complejos

Autoevaluación en clase N° 03 Simplificar y calcular el argumento y magnitud de los siguientes números complejos y expresarlos en su forma polar: a) 𝟐− 𝟑 𝒊 𝟓 b) 𝒛 −𝟏 𝟐− 𝟐 𝒊 , 𝑺𝒊 𝒛= 𝟕 𝒆 𝝅 𝟒 𝒊 c) 𝟑𝒊−𝟏 𝟑 𝟐𝒊− 𝟑 𝟑 d) 𝟑 +𝟐𝒊 𝟐− 𝟑 𝒊 𝒊+𝟏 e) 𝟓 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟐 +𝟐 + 𝟓 𝒔𝒆𝒏 𝝅 𝟐 +𝟐 𝒊 𝟒 Autoevaluación en clase N° 03

Desafío en clase N° 01 Demuestre las siguientes igualdades de números complejos. a) 𝐼𝑚 𝑧 2 =−2𝑥𝑦 b) 𝐼𝑚 𝑧 2 = 𝑦 2 c) 𝒛 𝑧 =1 d) 𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑒 𝑖𝜃 =1

Desafío en clase N° 02 (1 minuto) Desafío en clase N° 01 Determine el valor de la siguiente expresión: 𝑥+𝑎 𝑥− 𝑎 2 − 3 2 𝑎𝑖 𝑥− 𝑎 2 + 3 2 𝑎𝑖 =? Desafío en clase N° 01 𝑥+𝑎 𝑥− 𝑎 2 − 3 2 𝑎𝑖 𝑥− 𝑎 2 + 3 2 𝑎𝑖 =?

Radicación de números complejos 𝑆𝑒𝑎 𝑧=𝑥+𝑦𝑖 Magnitud del número z: 𝑟= 𝑥 2 + 𝑦 2 Argumento del número z: arg 𝑧 =𝜃 La forma polar: 𝑧=𝑟 𝑒 𝜃𝑖 Las raíces ‘’n – ésimas’’ del número z: 𝒘 𝒌 = 𝒏 𝒓 𝒆 𝒊 𝜽+𝟐𝝅𝒌 𝒏 ; 𝒌=𝟎,𝟏,𝟐,…,𝒏−𝟏

Radicación de números complejos Las raíces ‘’n – ésimas’’ del número z: 𝒘 𝒌 = 𝒏 𝒓 𝒆 𝒊 𝜽+𝟐𝝅𝒌 𝒏 ; 𝒌=𝟎,𝟏,𝟐,…,𝒏−𝟏

Actividad en clase N° 04 Thank you! 𝒑 𝒙 : 𝒙 𝟒 +𝟏=𝟎 𝒑 𝒙 : 𝒙 𝟑 +𝟔𝟒=𝟎 Dado los siguientes predicados, determine 𝑨 𝒑(𝒙) . 𝒑 𝒙 : 𝒙 𝟒 +𝟏=𝟎 𝒑 𝒙 : 𝒙 𝟑 +𝟔𝟒=𝟎 𝒑 𝒙 : 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙+𝟐=𝟎 𝒑 𝒙 : 𝒙 𝟓 +𝟑𝟐=𝟎 𝒑 𝒙 : 𝒙 𝟑 −𝟖=𝟎 𝒑 𝒙 : 𝒙 𝟐 −𝟑𝒙+ 𝟑−𝒊 =𝟎 Thank you!

Autoevaluación N°05 Determine el conjunto solución de los siguientes predicados. Considere 𝑹𝒆=ℝ 𝒑 𝒙 : 𝒙 𝟐 −𝟔𝒙+𝟏𝟑=𝟎 𝒒 𝒙 : 𝟐𝒙 𝟐 +𝟓𝒙+𝟔=𝟎 𝒓 𝒙 :𝒙 𝟐 −𝟐 𝟏+𝒊 𝒙+ 𝟐𝒊−𝟏 =𝟎 𝒑 𝒙 : 𝒙 𝟑 −𝟐𝒙+𝟒=𝟎 𝒒 𝒙 : 𝒙 𝟑 +𝟑 𝒙 𝟐 −𝟑𝒙−𝟏𝟒=𝟎

Desafío N° 3 Determine el número complejo z, talque 2 3 −𝑖 es una de sus raíces cúbicas y calcule sus otras 2 raíces

Sucesiones Definición: Una sucesión es un conjunto de números reales, los cuales reciben el nombre de términos. Todas las sucesiones tienen un primer término y cada término tiene un siguiente. 𝒇: ℕ→ ℝ 𝒏→𝒇(𝒏) Donde 𝒅𝒐𝒎 𝒇= ℕ 𝒚 𝒓𝒈 𝒇 ⊆ ℝ

Ejemplos de sucesiones En cada caso considere 𝑑𝑜𝑚 𝑓= ℕ. 𝑓 𝑛 = 1 𝑛 Los términos serían 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 ,… 𝑓 𝑛 = 𝑛−2 2 Los términos serían 1,0,1,4,9,16,… 𝑓 𝑛 = 𝑛 𝑛+1 Los términos serían 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 ,…

Actividad en clase N° 05 Ejemplos de sucesiones recursivas Dada la siguiente sucesión: 𝒂 𝒏 =𝟐 𝒂 𝒏−𝟏 −𝟑 , siendo 𝒂 𝟏 =𝟓. Determine 𝒂 𝟐 , 𝒂 𝟑 , 𝒂 𝟒 , 𝒂 𝟓 Dada la siguiente sucesión: 𝒂 𝒏 =𝟑 𝒂 𝒏−𝟏 , siendo 𝒂 𝟏 = 𝟐 𝟑 . Determine 𝒂 𝟐 , 𝒂 𝟑 , 𝒂 𝟒 , 𝒂 𝟓

Progresiones Aritméticas 𝟏,𝟒 𝟒−𝟏=𝟑=𝒅 ,𝟕,𝟏𝟎,𝟏𝟑,𝟏𝟔,… 𝟏,𝟏+𝟏 𝟑 ,𝟏+𝟐 𝟑 ,𝟏+𝟑 𝟑 ,𝟏+𝟒 𝟑 ,𝟏+𝟓 𝟑 ,… Definición: Se denomina progresión aritmética a aquella sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando una misma cantidad al término anterior. A la diferencia entre dos términos consecutivos se la denota por 𝒅

Progresiones Aritméticas "𝑛−é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎" 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑛−1 𝑑 Demostración: "𝑛−é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛"

Suma de los término de una progresión aritmética 𝑆 𝑛 = 𝑛 2𝑎+ 𝑛−1 𝑑 2