LÍMITES

Cuando hablamos de límites, en verdad nos planteamos una pregunta: ¿Hacia que punto, o valor numérico se acercan los valores de una función, cuando nos acercamos hacia un determinado valor numérico del dominio de la misma? Tenemos entonces que desplazarnos a través de la gráfica por valores que se aproximen al punto en mención, tanto por valores que vienen desde la izquierda de él, como de valores que vienen desde la derecha hacia él.

El valor que encontramos al recorrer la gráfica de la función a través de valores menores que el punto del dominio dado, es decir, que vienen desde la izquierda se denomina «límite lateral de f(x) cuando x tiende al valor a por la izquierda» y se denota por:

¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=2, por la izquierda?

El valor que encontramos al recorrer la gráfica de la función a través de valores mayores que el punto del dominio dado, es decir, que vienen desde la derecha se denomina «límite lateral de f(x) cuando x tiende al valor a por la derecha» y se denota por:

¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=2, por la derecha?

Definición de límite El valor numérico único hallado, cuando «x» tiende hacia el valor numérico «a» del dominio, tanto por la izquierda como por la derecha, se denomina: limite de la función f(x) cuando «x» tiende al valor «a» Se denota por:

Existencia del límite El límite de una función f(x) cuando «x» tiende al valor numérico «a» del dominio, existe, y es un único valor numérico, si y solo si, se cumple:

En el caso de las figuras anteriores en f(x)=x2, luego de ver los límites laterales por la izquierda y por la derecha, ¿qué concluye? Como: =

¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=1? y x 1 5 3 2

¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=1? 5 2

¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=1? y x 1 5 3 2 1 El límite existe, sin embargo, al ser f(1) ≠ 2, la función es discontinua en x=1

Dado el gráfico de f(x) :

Propiedades de los límites 1 2 3 4 5

Pasos para calcular límites Evaluar para saber si se trata de un límite directo o estamos en presencia de una forma indeterminada. Intentar desaparecer la indeterminación a través de operaciones algebraicas: factorización, productos notables, racionalización, sustitución de alguna identidad trigonométrica, etc. Indeterminaciones: 0/0 , / , 0· , 1, 00, 0 , -

Evaluar los siguientes límites

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Ejemplo 6:

Ejemplo 7:

Ejemplo 8:

Ejemplo 9:

Ejemplo 10:

Conclusión: Dado: Si [f(x)]º = [g(x)]º, entonces:

Límite de una sucesión

Ejemplo 11: e

Ejemplo 12:

Ejemplo 13:

Límites trigonométricos 1 5 2 6 3 7 4 8

Ejemplo 14: 1

Ejemplo 15: 1 Cos 0º=1

Ejemplo 16:

Ejemplo 17:

Ejemplo 17:

Importante: Por cambio de variable, tenemos:

A partir de la gráfica . . . , ¿en qué valor de a, se cumple:

Ejemplo 18: 11 0,5 3

Ejemplo 18:  limite no existe y además es discontinua

Ejemplo 19: 1 -1 2 -4  limite no existe y además es discontinua

Ejemplo 20: Si se siembra cierto cultivo en una tierra donde el nivel de nitrógeno es N, entonces el volumen de la cosecha Y puede modelarse con la función de Michaelis – Menten: donde A y B son constantes positivas. ¿Qué le sucede a la cosecha cuando el nivel de nitrógeno se incrementa indefinidamente?

Ejemplo 21: El efecto de reducción del dolor de una droga puede medirse empleando la función: donde p(x) es el porcentaje de alivio del dolor que se espera, cuando se utilicen x unidades de droga. ¿Qué le sucede a p(x) cuando x∞?

Si f(x)= x3,calcular: