UNIDAD 3 FUNCIONES, MATRICES Y DETERMINANTES “Función cuadrática, ecuación de segundo grado” Dr. Daniel Tapia Sánchez

Estos son los temas que estudiaremos en esta presentación: 3.4 Función cuadrática 3.4.1 Concavidad 3.5. Ecuación de 2º grado 3.5.1 Raíces de una ecuación cuadrática 3.5.2 Discriminante

3.4 Función Cuadrática con a =0; a,b,c  R f(x) = ax2 + bx + c Es de la forma: f(x) = ax2 + bx + c con a =0; a,b,c  R y su gráfica es una parábola. Ejemplos: a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1  a = 2, b = 3 y c = 1 b) Si f(x) = 4x2 - 5x - 2  a = 4, b = -5 y c = -2

3.4.1 Concavidad En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente a indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Si a > 0, es cóncava hacia arriba Si a < 0, es cóncava hacia abajo

3.5 Ecuación de segundo grado Una ecuación cuadrática o de segundo grado es de la forma: ax2 + bx + c = 0 Toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones o raíces, que corresponden a los puntos de intersección de la parábola f(x) = ax2 + bx + c con el eje X. x1 x2

Ejemplo: En la función f(x) = x2 - 3x - 4 , la ecuación asociada: x2 - 3x - 4 = 0 , tiene raíces -1 y 4. Luego, la parábola intercepta al eje X en esos puntos. x y x1 x2

3.5.1. Raíces de una ecuación de 2° grado Fórmula para determinar las soluciones (raíces) de una ecuación de segundo grado: -b ± b2 – 4ac 2a x = Ejemplo: Determinar las raíces de la ecuación: x2 - 3x - 4 = 0 -(-3) ± (-3)2 – 4·1(- 4) 2 x = 3 ± 9 + 16 2 x =

2 x = 3 ± 25 2 x = 3 ± 5 2 x = 8 2 x = -2 x1 = 4 x2 = -1 También se puede obtener las raíces de la ecuación factorizando como producto de binomio: x2 - 3x - 4 = 0 (x - 4)(x + 1) = 0  (x - 4)= 0 ó (x + 1)= 0 x1 = 4 x2 = -1

3.5.2 Discriminante El discriminante se define como: Δ = b2 -4ac a) Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales y distintas. La parábola intersecta en dos puntos al eje X. Δ > 0

La parábola NO intersecta al eje X. b) Si el discriminante es negativo, entonces la ecuación cuadrática tiene no tiene solución real. La parábola NO intersecta al eje X. Δ < 0

La parábola intersecta en un solo punto al eje X. c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la ecuación cuadrática tiene única solución. La parábola intersecta en un solo punto al eje X. Δ = 0