UNIDAD 1 CONCEPTOS BÁSICOS “Potencias y raíces” Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a: Reconocer la definición de potencia de base entera y de exponente entero. Reconocer la definición de raíz como una potencia de base entera y exponente racional. Aplicar las propiedades de la potenciación y radicación en la resolución de ejercicios.

Estos son los temas que estudiaremos: 1.6 Potenciación 1.6.1 Definición 1.6.2 Propiedades 1.6.3 Potencias de base 10 1.6.4 Signos de una potencia 1.7 Raíces 1.7.1 Definición 1.7.2 Propiedades 1.7.3 Racionalización

1.6. Potenciación 1.6.1 Definición Corresponde a una multiplicación reiterada de términos o números iguales. El término o número que se va multiplicando, se llama “base” y la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama “exponente”. an = a ∙ a ∙ … ∙ a n veces Ejemplo: 73 = 7∙ 7∙ 7 = 343 (-6)2 = (-6)∙ (-6)= 36

-32 = (-3)2 ya que: -32 = - 3 ∙ 3 = -9 y (-3)2 = (-3)·(-3) = 9 = 2 3 23 ya que: 2 3 = 8 27 ∙ = 23 3 2∙2∙2 8 y

1.6.2 Propiedades Multiplicación de Potencias: De igual base Se conserva la base y se suman los exponentes. an+m an ∙ am = Ejemplo: 5x ∙ 53x = 5x+3x = 54x Libro, página 38

Se multiplican las bases, conservando el exponente. De igual exponente: Se multiplican las bases, conservando el exponente. (a ∙ b)n an ∙ bn = Ejemplo: 85 ∙ 42 ∙ 22 = 85 ∙ (4 ∙ 2)2 = 85 ∙ 82 = 87

División de Potencias: De igual base: Se conserva la base y se restan los exponentes. an-m an : am = Ejemplo: 923 96 = 923-6 = 917 Resolver ejercicios 1, 2 y 5 de “EJERCICIOS P.S.U.”, libro, página 49.

Se dividen las bases y se conserva el exponente. De igual exponente: Se dividen las bases y se conserva el exponente. (a : b)n an : bn = Ejemplo: 75 : 42 282 = 75 : (28:4)2 = 75 : 72 = 73

Se multiplican los exponentes. Potencia de Potencia: Se multiplican los exponentes. (an )m = am ∙ n Ejemplo: (210)4 = 210 ∙ 4 = 2 40

Potencia de Exponente Negativo: Se invierte la base y se eleva al exponente positivo. Potencia de exponente negativo y base entera: 1 a-n = a n (Con a, distinto de cero) Ejemplo: 5-2 ∙ 15 3 2 = ∙ (5)2 5 2 1 = 25 1 ∙ 25 = 1

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria: = n (Con a, distinto de cero y b distinto de cero) Ejemplo: 3 4 -3 = 3 4 = 3 = 4 64 27

Potencias de exponente cero: (para todo a, distinto de cero) 00 : indefinido Ejemplo: x 3 - 4y 7 – (15-8) x 3 - 4y = = 1

1.6.3 Potencias de base 10 Con exponente positivo: 100 = 1 101 = 10 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000… Ejemplo: 54.000.000 = 54 ∙ 1.000.000 = 54 ∙ 106 Libro, página 41

Con exponente negativo: 10-1 = 10 = 1 0,1 10-2 = 100 = 1 0,01 1 1.000 = 10-3 = 0,001… Ejemplo: 4 100.000 = 0,00004 = 4 ∙ 10 -5

1.6.4 Signos de una potencia Potencias con exponente par: Las potencias con exponente par, son siempre positivas. Ejemplo: 1) (-11)2 = (-11) ∙ (-11) = 121 2) -3 5 4 = 5 (-3) 4 = 81 625

Potencias con exponente impar: En Las potencias con exponente impar, la potencia conserva el signo de la base. Ejemplo: 1) (-12)3 = (-12) ∙ (-12) ∙ (-12) = -1.728 2) -2 3 -5 = 3 -2 5 = (3) 5 (-2) = 243 -32 = 243 32 -

1.7.Raíces 1.7.1 Definición Toda raíz corresponde a una potencia con exponente fraccionario. x b a = (Con b, distinto de cero) 8 5 2 = 1) 8 5 = 2 64 5 Ejemplos: 1 3 4 -2 = 2) = 4 2 3 = 3 4 2 3 16

1.7.2 Propiedades b = a∙b a 9 = 9∙3 = 27 3 = Multiplicación de raíces de igual índice: Al multiplicar raíces de igual índice, se multiplican las partes subradicales conservando el índice que tienen en común. n ∙ b = a∙b a Ejemplo: 9 3 = ∙ 9∙3 = 3 3 27 3 =

División de raíces de igual índice: Al dividir raíces de igual índice, se dividen las partes subradicales conservando el índice que tienen en común. a:b n a b = : Ejemplo: 512:2 4 = 4 512 : 2 = 256 = 4

Composición y Descomposición de raíces: Se utiliza para ingresar un factor a una raíz. a b = a ∙ b n Ejemplo: 2 3 = 4 3 ∙ 2 4 = 4 81∙2 = 4 162

Descomposición: Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raíz exacta. Ejemplo: 162 = 81 2 ∙ = 81 2 ∙ = 2 9

Raíz de Raíz: a = m n m∙n Ejemplo: 2 = 5 4 2 5∙4 = 2 20

1.7.3 Racionalización 3 4 = ? 4 3 = ∙ ( )2 4 3 = 4 3 Cuando tenemos fracciones con raíces en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan raíces en el denominador. A este proceso se le llama racionalización.   Ejemplos: 3 4 = ? 1) Racionalizar 4 3 = ∙ ( )2 4 3 = 4 3

4 5 2 3 = ? 2) Racionalizar = 5 3 4 ∙ 2 3 4 = 5 4 3 27 5 3 4 = ? + 2 3) Racionalizar = 3 - 2 4 + ∙ 4( - 2 3 ) 3 - 2 = 4( - 2 3 ) 1