“Definiciones, Operaciones algebraicas, MCM, MCD” UNIDAD 2 ÁLGEBRA “Definiciones, Operaciones algebraicas, MCM, MCD” Dr. Daniel Tapia Sánchez

El Álgebra Es la rama de las matemáticas que trata a las cantidades de manera general. En la unidad anterior utilizamos solamente números y cada uno de ellos representaba un valor específico. Ahora utilizaremos números y letras a la vez para representar cantidades, y las letras representarán cualquier valor. Esto quiere decir que una misma expresión algebraica puede representar la edad de una persona, el costo de un artículo, o cualquier otro valor. A eso nos referimos cuando decimos que trataremos las cantidades de manera más general.

En esta unidad aprenderás a: Sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas. Reconocer productos notables como cuadrado de binomio, suma por su diferencia, suma de cubos, diferencia de cubos y cubo de binomio. Factorizar expresiones algebraicas identificando factor común o a través del reconocimiento de productos notables. Determinar el Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor entre expresiones algebraicas.

Contenido de la unidad 2.1 Definiciones 2.2 Operaciones Algebraicas 2.1.1 Término algebraico 2.1.2 Expresión algebraica 2.1.3 Términos semejantes 2.2 Operaciones Algebraicas 2.2.1 Suma y resta 2.2.2 Multiplicación 2.2.3 Productos Notables 2.2.4 Factorización 2.2.5 División 2.3 Mínimo común múltiplo (m.c.m.) 2.4 Máximo común divisor (M.C.D.)

2.1 Definiciones 2.1.1 Término algebraico Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces. Consta de un “factor numérico”, denominado coeficiente y un “factor literal” formado por una o más letras. Las literales siempre tienen asociado un exponente, pero en caso de que este sea uno, se omite escribirlo. Ejemplos: 3w 2z 15a3b5, ab2c, 5x2y,

2.1.2 Expresión algebraica Es la relación entre términos algebraicos, mediante la suma y/o resta. Ejemplos: 1) 4x2 – 3 5y 2) 8a3 + 7xy2 – 3x + 10y 3) 2a3b2 + 5ab – 3a 2

Hay dos tipos de expresiones algebraicas: Monomio: Expresión algebraica que consta de un solo término algebraico. Ejemplos: 25a3, 9xy2, 45x2z5 Polinomio: Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos. Los polinomios se pueden clasificar según el número de términos que contienen. En la siguiente diapositiva se muestran algunos ejemplos:

2a3b2 + 5ab – 3a2 1) Binomio: Polinomio que consta de dos términos. Ejemplo: 4x7y2 + 5xy 2) Trinomio: Polinomio que consta de tres términos algebraicos. Ejemplo: 2a3b2 + 5ab – 3a2

2.1.3 Términos Semejantes 6a2b 5a2b 2x4 7x2 Son aquellos términos algebraicos, o monomios que tienen los mismos factores literales. Ejemplo: - Los términos 6a2b y 5a2b son semejantes. - Los términos 2x4 y 7x2 no son semejantes.

2.2. Operaciones algebraicas 2.2.1 Suma y Resta Sólo pueden ser sumados o restados los coeficientes numéricos de los términos semejantes. Ejemplo: ab2c + 3ab2c – 5ab2c = (1 + 3 – 5) ab2c = (4 – 5) ab2c = (– 1) ab2c = – ab2c

Por Ejemplo: Suma de polinomios Sumar los siguientes polinomios: En la suma de polinomios, se escribe cada polinomio uno detrás de otro y se reducen los términos semejantes. Sumar los siguientes polinomios: Por Ejemplo:

En la suma, los polinomios se escriben uno seguido del otro y se reducen los términos semejantes:

Por Ejemplo: Resta de polinomios Realizar la siguiente operación: En esta operación, es importante identificar el minuendo y el substraendo, para posteriormente realizar la reducción de términos semejantes. Por Ejemplo: Realizar la siguiente operación:

Solución: Para realizar la resta, primero se eliminan los paréntesis. Para hacerlo, debemos recordar que el signo “menos” fuera del paréntesis, afecta a todos los monomios que están dentro de los paréntesis. Por lo tanto, debemos invertir el signo de cada monomio en el segundo paréntesis, es decir, debemos cambiar los signos positivos por negativos y los negativos por positivos: Posteriormente se reducen los términos semejantes:

2.2.2 Multiplicación Monomio por monomio: Monomio por polinomio: Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí. Ejemplo: 3x ∙ 2xy = 6x2y Monomio por polinomio: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Para hacerlo, se aplican las leyes de los exponentes estudiadas en la unidad anterior (se suman los exponentes que tengan la misma base) Ejemplo: 3ab4 (5a2b + 2ab2 - 4ab) = = 15a3b5 + 6a2b6 – 12a2b5

Polinomio por Polinomio: Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Posteriormente se suman los términos semejantes. Ejemplo: (2x + y)(3x + 2y) = 6x2 + 4xy + 3xy + 2y2 = 6x2 + 7xy + 2y2

2.2.3 Productos Notables Cuadrado de Binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Son aquellos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación. Cuadrado de Binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

a b b a (5x – 3y)2 = (5x)2 - 2(5x∙3y) + (3y)2 = 25x2 - 30xy + 9y2 Ejemplo: (5x – 3y)2 = (5x)2 - 2(5x∙3y) + (3y)2 = 25x2 - 30xy + 9y2 La fórmula del Cuadrado de Binomio se puede obtener geométricamente: a b b a 2

Cubo de binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3 Ejemplo: Aplicando la fórmula... (3x – 2y)3 = (3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3 Desarrollando potencias... = 27x3 – 3∙(9x2)∙2y + 3∙(3x )∙(4y2)– 8y3 Multiplicando... = 27x3 – 54x2y + 36xy2– 8y3

Suma por su diferencia: (a + b)∙(a – b) = a2 – b2 Ejemplo: Aplicando la fórmula... (5x + 6y)∙(5x – 6y) = (5x)2 – (6y)2 = 25x2 – 36y2

Producto de binomio: (x + a)∙(x + b) = x2 + (a + b)x + ab Ejemplo 1: Aplicando la fórmula... (x + 4)∙(x + 2) = x2 + (4 + 2)x + 4∙2 Desarrollando... = x2 + 6x + 8 Esta propiedad sólo se cumple cuando los binomios tienen un término en común.

(y - 4)∙(y + 2) = y2 + (-4 + 2)y - 4∙2 = y2 – 2y - 8 Ejemplo 2: Aplicando la fórmula... (y - 4)∙(y + 2) = y2 + (-4 + 2)y - 4∙2 Desarrollando... = y2 – 2y - 8

Cuadrado de trinomio: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Ejemplo: (2x + 3y + 4z)2 = ? Aplicando la fórmula... = (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x∙3y) + 2(2x∙4z) + 2(3y∙4z) Desarrollando... = 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy + 16xz + 24yz

Diferencia de cubos: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) 8x3 – 64y3 = Ejemplo: 8x3 – 64y3 = (2x)3 – (4y)3 Aplicando la fórmula... = (2x – 4y)((2x)2 + 2x ∙ 4y + (4y)2 ) Desarrollando... = (2x – 4y)(4x2 + 8xy + 16y2 )

Suma de cubos: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) 27x3 + 8y3 = Ejemplo: 27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3 Aplicando la fórmula... = (3x + 2y)((3x)2 – 3x ∙ 2y + (2y)2) Desarrollando... = (3x + 2y)( 9x2 – 6xy + 4y2)

2.2.4 Factorización Consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación. Ahora haremos el proceso inverso al de los productos notables. Es decir, ahora debemos representar con una cantidad menor de términos cada expresión.

Factores de una expresión Son las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto a la primera expresión. Ejemplos: x2 + 2x = x (x + 2) factor factor x2 – x – 2 = (x – 2) (x + 1) factor factor

Factorización de una expresión Es convertir la expresión en el producto compuesto por sus factores

Factorización de un polinomio Todo polinomio puede ser descompuesto en dos o más factores distintos de 1. Los polinomios se pueden descomponer de distintas maneras las cuales se explicaran a continuación.

Factorización de un polinomio Cuando todos los términos tienen un factor común Ejemplos: 10a + 30ax2 = 10 1 a 10 3 a x x +       = 10 a ( ) 1 + 3 x2 En ambos términos

Factorización de un polinomio 18 m x y2 – 54 m x2 y2 + 36 m y2 = 18 m x y y – 18 18 3 m x x x y y + 18 m y y 1               En cada uno de los términos = 18 m y2 ( ) x – 3 x2 + 1 En todos los términos

Factorización de un polinomio Cuando todos los términos tienen un polinomio como factor común Ejemplos: 2x (a – 1) – y (a – 1) = (a – 1) (2x – y) factor m (x + 2) + (x + 2) = (x + 2) (m + 1) factor

Factorización de un polinomio Cuando se agrupan los términos factor común Ejemplos: a x + a y + b x + b y ( a x + b x ) + ( a y + b y ) = factor factor = x (a + b) + y (a + b) (a + b) ( ) x + y =

Factorización de un polinomio Cuando un trinomio es un cuadrado perfecto o algún otro producto notable Una cantidad es cuadrado perfecto cuando se cumple que es el cuadrado de otra, es decir, se cumple que: a2 2ab + b2 = (a b)(a b)

Factorización de un polinomio Ejemplos: 4x2 + 25y2 – 20xy = 4x2 – 20xy + 25y2 = (2x) – 2 (2x) (5y) + (5y) 2 2 = ( ) 2x – 5y 2 Se puede aplicar también si el primero y/o el tercer termino son expresiones algebraicas.

Factorización de un polinomio Cuando un trinomio no es un cuadrado perfecto o algún otro producto notable se puede transformar a cuadrado perfecto por adición o sustracción.

Factorización de un polinomio Ejemplos: No es un cuadrado perfecto x4 + x2y2 + y4 1 Es un cuadrado perfecto x4 + 2 x2y2 + y4 2 Para llegar de a : 1 2 x4 + x2y2 y4 + x2y2 – x2y2 Se le suma cero y4 x4 2 x2y2 + – x2y2 = ( x2 + y2 ) 2 – x2y2 Cuadrado perfecto + = ( x2 + y2 ) ( xy ) 2 – 2 Diferencia de cuadrados = ( x2 + y2 ) – xy ( x2 + y2 ) + xy 2 2

Factorización de un polinomio Trinomios de la forma x2 bx c que cumplen con las siguientes condiciones: Coeficiente del primer termino 1 Primer término es una letra elevada al cuadrado Segundo término tiene la misma letra que el primero elevado a uno y su coeficiente es una cantidad cualquiera Tercer término es independiente (sin letra) Ej: y2 – 8y +15

Factorización de un polinomio Ejemplo: x 2 + 5 x + 6 = ( ) x + 2 ( ) x + 3 + + = +  2 + 3 = 5 Se tiene que buscar dos números cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6 Al multiplicar los signos: 2  3 = 6

Factorización de un polinomio Trinomios de la forma ax2 bx c que cumplen con las siguientes condiciones: Coeficiente del primer termino distinto de 1 Primer término es una letra elevada al cuadrado Segundo término tiene la misma letra que el primero elevado a uno y su coeficiente es una cantidad cualquiera Tercer término es independiente (sin letra) Ej: 3a2 + 7a – 6

Factorización de un polinomio Ejemplo: 6 x2 – 7 x – 3 Se multiplica por el coeficiente de x2 (6) 6 x2 – (6) 7 x – (6) 3    Trinomios de la forma x2 bx c 2 (6x) – 7 (6x) – 18  – – = +  La suma y la multiplicación es entre un número positivo y otro negativo ( ) 6x – 9 ( ) 6x + 2 2 – 9 = – 7 2  - 9 = – 18

Factorización de un polinomio Aunque ya se factorizó el polinomio hay que recordar que se multiplicó por seis por lo que para no alterar el polinomio hay que dividirlo por el mismo valor. 6x2 – 7x – 3 = (6x – 9) (6x – 2) 6 = 3 (2x – 3) 2 (3x – 1) 2  3 (2x – 3) (3x – 1) =

Factorización de un polinomio Cuando la expresión es un cubo perfecto de un binomio. ( a + b )3 = a3 + 3 a b2 3 a2 b b3 ó –

Factorización de un polinomio Ejemplo: 8 x6 + 54 x2 y9 – 27 y9 – 36 x4 y3 3 3 (2 x2) – 3 (2 x2) 2 (3 y3) + 3 (2 x2) (3 y3) 2 – (3 y3) 3 = ( ) 2x2 – 3y3

Factorización de un polinomio Cuando la expresión es una suma o diferencia de cubos perfectos. Ej: cubo ( 13 ) cuadrado 3 x + 1 = ( ) x + 1 ( ) x – x 1 1 2 + 2  Signo contrario el que se encuentra en término anterior cubo ( x3 ) cuadrado cubo ( 23 ) cuadrado 3 a – 8 = ( ) a – 2 ( ) a + a 2 2 2 – 2  Signo contrario el que se encuentra en término anterior Cubo ( a3 ) cuadrado

2.2.5 División 1) x2 + x - 20 x2 - 25 (x + 5)(x – 4) (x + 5)(x – 5) Para dividir expresiones algebraicas es necesario expresarlas mediante productos, es decir, factorizar. Ejemplos: Factorizando... 1) = x2 + x - 20 x2 - 25 (x + 5)(x – 4) (x + 5)(x – 5) Simplificando... (x – 4) (x – 5) = Recuerda que NO se puede realizar lo siguiente: (x – 4) (x – 5)

(a + b)(a – b) (a + b)(a + b) 1 a - b 2) (a + b)2 a2 - b2 1 a - b = Factorizando y simplificando (a + b)(a – b) : (a + b)(a + b) 1 a - b 2) (a + b)2 a2 - b2 : 1 a - b = Dividiendo: (a + b) (a – b) 1 a - b : = (a + b) (a – b) 1 a - b = ∙ = (a + b)

2.3. Mínimo común múltiplo (m.c.m.) Entre monomios: Corresponde a todos los factores con su mayor exponente. Ejemplo 1: El m.c.m. entre: 3x5y2, 18x2yz6 y 9y3 es: 18x5y3z6 Ejemplo 2: El m.c.m. entre: x4y2z3 , x2y , xy6z es: x4y6z3

Entre polinomios: x2 + x x2 + 2x +1 x(x +1) (x +1)2 x(x +1)2 El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. Ejemplo: Determinar el m.c.m. entre: x2 + x y x2 + 2x +1 x(x +1) (x +1)2 Factorizando... m.c.m. : x(x +1)2

2.4. Máximo común divisor(M.C.D.) Entre monomios: Corresponde a los factores comunes con su menor exponente. Ejemplo 1: El M.C.D. entre: 3x5y2, 18x2yz6 y 9y3 es: 3y Ejemplo 2: El M.C.D. entre: a4b2, a5bc y a6b3c2 es: a4b

Entre polinomios: x2 + x x2 + 2x +1 x(x +1) (x +1)2 (x +1) El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. Ejemplo: Determinar el M.C.D. entre: x2 + x x2 + 2x +1 y Factorizando... x(x +1) (x +1)2 (x +1) M.C.D. :