TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS GRAFICACIÓN I

Transformaciones en dos dimensiones Los objetos se definen mediante un conjunto de puntos. Las transformaciones son procedimientos para calcular nuevas posiciones de estos puntos, cambiado el tamaño y orientación del objeto. Las operaciones básicas de transformación son Traslación Escalamiento Rotación.

Traslación Las coordenadas (x, y) de un objeto se transforman a (x', y') de acuerdo a las fórmulas: El par (Tx, Ty) se conoce como vector de traslación.

Escalamiento El escalamiento modifica el tamaño de un polígono. Para obtener este efecto, se multiplica cada par coordenado (x, y) por un factor de escala en la dirección x y en la dirección y para obtener el par (x', y'). Las fórmulas son

Escalamiento respecto a un punto fijo Se puede llevar a cabo un escalamiento respecto a un punto fijo trasladando primero ese punto al origen, después escalando y luego regresando el objeto a la posición original. Las ecuaciones son Reacomodando

Rotación La rotación gira los puntos de una figura alrededor de un punto fijo. De la figura se obtiene Simplificando

Rotación respecto a un punto arbitrario La rotación respecto a un punto arbitrario es

Coordenadas homogéneas Para poder representar las tres transformaciones en forma matricial como producto de matrices, es necesario representar los puntos en coordenadas homogéneas. Estas coordenadas agregan una tercer componente a las coordenadas bidimensionales. De tal forma que, un punto (x, y) pasa a ser (x, y, W). El punto en coordenadas Cartesianas representado por esta tríada es el (x/W, y/W). El valor de W es generalmente 1.

Representación matricial de traslaciones Haciendo uso de coordenadas homogéneas la traslación puede representarse como: En forma abreviada la transformación se representará por T(Tx, Ty)

Representación matricial de escalamientos Haciendo uso de coordenadas homogéneas el escalamiento puede representarse como: En forma abreviada la transformación se representará por S(Sx, Sy)

Representación matricial de rotaciones Haciendo uso de coordenadas homogéneas la rotación puede representarse como: En forma abreviada la transformación se representará por R(q)

Composición de transformaciones Para aplicar varias transformaciones a un conjunto de puntos basta con combinar las matrices de transformación en una sola, mediante multiplicación matricial. En caso de tener solo transformaciones del mismo tipo, la combinación sigue reglas muy simples. Traslación: Escalamiento: Rotación:

Escalamiento respecto a un punto fijo en forma matricial Para llevar a cabo un escalamiento respecto a un punto fijo, se procede multiplicando una matriz de traslación para llevar el punto fijo al origen por una de escalamiento y posteriormente por otra de traslación para llevar al punto fijo a su posición original.

Rotación respecto a un punto fijo en forma matricial Para llevar a cabo una rotación respecto a un punto fijo, se procede multiplicando una matriz de traslación para llevar el punto fijo al origen por una de rotación y posteriormente por otra de traslación para llevar al punto fijo a su posición original.

Forma general En general una transformación que utilice traslaciones, escalamientos y rotaciones tendrá la forma: Por tanto, el cálculo de las coordenadas transformadas se podrá hacer con las siguientes ecuaciones

Otras transformaciones Otras transformaciones que permiten llevar a cabo operaciones muy útiles, estas son: Reflexiones Corte.

Reflexiones en x y y Las reflexiones respecto al eje x y y se obtienen con las matrices siguientes:

Reflexión respecto al origen La reflexión respecto al origen se obtiene con :

Reflexión respecto a la recta y = x Una reflexión respecto a la recta y = x, puede obtenerse en tres pasos: girar un ángulo de 45 en el sentido de las manecillas del reloj, una reflexión respecto al eje x, y una rotación de 45 grados en contra del sentido del reloj.

Corte en x El corte produce una deformación similar al deslizamiento de una capa sobre otra. El corte en x se produce por la matriz:

Corte en y El corte en y se produce por la matriz

Transformaciones Ventana-Puerto de visión Las transformaciones ventana-puerto de visión, mapean puntos en el mundo real a puntos en la pantalla. Puerto de visión 2 Puerto de visión 1 Ventana Coordenadas de pantalla Coordenadas mundiales

Transformaciones de visión (xmax, ymax) (xmin, ymin) Ventana en coordenadas mundiales Ventana trasladada al origen (umax, vmax) (umin, vmin) Ventana escalada al tamaño del área de visión. Traslación hasta la posición final.

Transformaciones de visión (continuación)

Transformaciones de visión (continuación)

Propiedades de las transformaciones Los vectores fila de la submatriz superior 2x2 de rotación tienen tres propiedades: Cada uno es un vector unidad Cada uno es perpendicular al otro (su producto punto es cero) El primer y segundo vector se rotarán por R(q) para que caigan sobre los ejes x y y positivos. Una matriz que cumple esto se le llama ortogonal especial.

Una matriz de transformación de la forma: Donde la submatriz superior de 2x2 es ortogonal, conserva los ángulos y las longitudes. Estas transformaciones se denominan de cuerpo rígido. Una secuencia arbitraria de traslaciones, rotaciones y escalamientos conserva el paralelismo de las líneas, pero no la longitud ni los ángulos. Estas transformaciones se denominan transformaciones afines.

Operaciones de rastreo El buffer de pantalla se puede manipular directamente para llevar a cabo algunas transformaciones. La más sencilla es la copia de un bloque de un lugar de la pantalla a otro. Para girar una figura un ángulo múltiplo de 90 grados se pueden lograr invirtiendo renglones por columnas. La rotación por 180 grados se logra invirtiendo cada renglón y posteriormente invirtiendo los renglones. Para otros ángulos cada área de pixel de destino se diagrama sobre la matriz que se gira y se calcula la cantidad de superposición con las áreas de pixel que se giran. Entonces se calcula una intensidad para el pixel al promediar las intensidades de los pixeles fuente superpuestos.

Rotación diferente de 90 grados

Escalamiento del mapa de bits Escalamos las áreas de pixeles en el bloque original al emplear los valores de sx y sy y diagramar el rectángulo que se escala sobre un conjunto de pixeles destino. La intensidad de cada pixel destino se designa de acuerdo con el área de superposición con las áreas de pixel que se escalan.