PROFESORA: GLADYS ZORRILLA PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA TEOREMAS DE THALES  PROFESORA: GLADYS ZORRILLA

OBJETIVOS: 1) Identificar los teoremas de Thales en su forma particular y general. 2) Aplicar los teoremas de Thales en ejercicios prácticos y problemas de planteo.

Una anécdota contada por Platón: THALES DE MILETO Nació alrededor del año 640 AC en Mileto, Asia Menor (ahora Turquía). Era un hombre que se destacó en varia áreas como: comercio, ingeniería, astronomía y geometría. Fue considerado uno de los siete sabios de Grecia Una anécdota contada por Platón: “Una noche Thales estaba observando el cielo y tropezó. Un sirviente lo Levantó y le dijo: cómo pretendes entender lo que pasa en el cielo, si no puedes ver lo que está a tus pies”.

Curiosidades…. Se cuenta que comparando la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides, Thales midió, por semejanza, sus alturas respectivas. La proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas determinan en otras rectas dio lugar a lo que hoy se conoce como el teorema de Thales.

H(altura de la pirámide) Pirámide H h = s S h•S H= s Puesto que los rayos del Sol inciden paralelamente sobre la Tierra, se pueda observar que: Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes Rayos solares S (sombra pirámide) H(altura de la pirámide) Podemos, por tanto, establecer la proporción Pirámide H h = s S h•S H= De donde s s (sombra bastón) h (altura de bastón)

Aplicaciones de esta idea… Calcula la altura del siguiente edificio x 5 m 3 m 12 m Escribimos la proporción y al resolverla tenemos 3 • x = 5 • 15 x = 75 3 X = 25 m 15 m

1ER TEOREMA PARTICULAR DE THALES: Al cortar los lados de un ángulo por dos paralelas, los segmentos que intersecan los lados son proporcionales. HIPÓTESIS: L1 // L2 TESIS:

Ejercitando lo aprendido……. EJEMPLO 1: En la figura L1 // L2 // L3 , T y S transversales, calcula la medida del trazo x L1 L2 L3 T S 8 24 x 15 Ordenamos los datos en la proporción, de acuerdo al teorema de Thales 15 Es decir: 8 x = 24 Y resolvemos la proporción 24 • x = 8 • 15 X =8 • 15 24 X = 5

EJEMPLO 2: En la figura L1 // L2 // L3 , T y S son transversales, calcula x y el trazo CD Formamos la proporción 3 x+4 = x+1 2 Resolvemos la proporción 3(x + 1) = 2(x + 4) 3x + 3 = 2x + 8 3x - 2x = 8 - 3 X=5 Luego, como CD = x + 4 CD= 5 + 4 = 9

2DO TEOREMA PARTICULAR DE THALES: Al cortar los lados de un ángulo por dos paralelas, los segmentos que se forman desde el vértice a los puntos de intersección de las paralelas son proporcionales entre sí. HIPÓTESIS: L1 // L2 TESIS:

EJEMPLO 1: En el dibujo: Si L1 // L2 // L3, entonces AC mide?. Aplicando Thales, tenemos: T S D A L1 X 3 E B L2 5X-2 12 C F L3

EJEMPLO 2: En el dibujo: Si L1 // L2 // L3, entonces el valor de x es?. 15x +60 –x2 -4x = 18x –x2 -72 +4x

3ER TEOREMA PARTICULAR DE THALES: Al cortar los lados de un ángulo por dos paralelas, éstas son entre sí como los segmentos medidos desde las paralelas al vértice. HIPÓTESIS: L1 // L2 TESIS:

EJEMPLO : En el dibujo: Si L1 // L2 , entonces el valor de BC es?.

A esta forma de tomar los trazos, se le llama “la doble L” Triángulos de Thales En dos triángulos de Thales, sus lados, tienen la misma razón  de semejanza  B C A D E AB AE De acuerdo a esto, en la figura BC// ED, entonces, con los lados de los triángulos AED y ABC ocurre: AE ED = BC O también AE AB = ED BC A esta forma de tomar los trazos, se le llama “la doble L”

EJEMPLO: En el triángulo ABC, DE//BC . Calcule x y el trazo AE Por que x+3+x = 2x+3 Formamos la proporción A B C x+3 x 8 12 D E x+3 2x+3 = 12 8 Resolvemos la proporción 8(2x + 3) = 12( x + 3) 16x + 24 = 12x + 36 16x – 12x = 36 – 24 4x = 12 X = 12 = 3 4 Por lo tanto, si AE = x + 3 = 3 + 3 = 6

TEOREMA GENERAL DE THALES "Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales entre sí. En el dibujo: Si L1 // L2 // L3,// L4 , T y S transversales, los segmentos a, b, c, d , e y f son proporcionales T S Es decir: a d c L1 = b e d L2 L3 c f L4

Aplicaciones del Teorema de Thales… HIPÓTESIS: L1 // L2 TESIS:

Ejercitando lo aprendido……. Ejemplo 1: En la siguiente figura L1//L2. Si BP = 6 cm., CP = 4 cm., CD = 3 cm., AB = ? X 6 4 3

Ejemplo 2: Para calcular el ancho de un río, Juana usó una cuerda de 30 metros como se ve en el dibujo, y midió la distancia d = 6 metros y h = 4 metros. ¿Cuál es el ancho del río?. X h d

Teorema de la bisectriz de un ángulo interior de un triángulo La bisectriz de un ángulo interior de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a la de los lados del correspondiente ángulo del triángulo. C  a b b A B u v

Ejemplo 1: En un ABC, CD es bisectriz del ángulo en C ; a = 8 cm , b = 20 cm y c = 14 cm. Calculemos u y v. C b A v a u D c B

Ejemplo 2: En un ABC con CD bisectriz del ángulo ACB ; a = 25 cm , b = 35 cm y u = 20 cm. Calcula v y c. C a b A B v D u c

Teorema de la bisectriz de un ángulo exterior de un triángulo La bisectriz de un ángulo exterior de un vértice del triángulo divide exteriormente al lado opuesto en la razón de los lados que forman el ángulo interior adyacente. C  b a A c B u D v v = c + u

Ejemplo : En un ABC, con CB bisectriz del ángulo exterior en C ; a = 6 cm , b = 12 cm y AB = 8 cm. Calcula u. C b a A B u D v