Por: Tomás Estrada Sánchez Grupo 211 Ecuaciones diferenciales usando el Método de coeficientes Indeterminados Por: Tomás Estrada Sánchez Grupo 211

La primera de las dos formas que se consideran para obtener una solución particular Ypde una Ecuación Diferencial Lineal no Homogénea se llama método de coeficientes indeterminados. La idea fundamental que sustenta este método es una conjetura acerca de la forma Yp en realidad es una suposición informada, motivada por las clases de funciones que constituyen la función de entrada g(x). Los coeficientes ai, i=0,1…… n son constantes y g(x) es una constante, una función polinomial, una función exponencial e ax, una función seno o coseno, sen bx o cos bx, o suma finitas y productos de estas funciones.

Ejemplo g (x)=10, g(x)=x2-5x, g(x)=15x-6+8e-x G(x)=sen3x-5xcos2x, g(x)= x ex sen x+(3x2-1)e-4x Es decir g(x) es una combinación lineal de funciones de la clase: P(x)= an Xn+an-1 Xn-1+…+a1X+a0, P(x) eax, P(x) eax sen Bx y P(x) eax cos Bx, Donde n es un numero entero no negativo y a y b son números reales. El método de coeficientes indeterminados no es aplicable a ecuaciones de la forma (fig. 1) cuando: g(x)= ln x, g(x)=1/x, g(x)= tan x, g(x)=sen-1, etcétera.

Ahora describiremos paso a paso la solución de la siguiente ecuación, para tener una visión mas clara respecto al tema EJEMPLO: y” +4y’-2y=2X2 -3X+6

Pasos a seguir PASO #01 Se resuelve primero la ecuación homogénea relacionada y”+4y’-2y=0. De la formula cuadrática se encuentra que las raíces de la ecuación auxiliar m2+4m-2=0 son m1=-2-√6 y m2=-2+√6. Por consiguiente, la función complementaria es: Y=C1e-(2+√6)x+ C2e(-2+√6)x

PASO #02 ahora debido a que la función g(x) es un polinomio cuadrático, supóngase una solución particular que también es de la forma de un polinomio cuadrático: Yp= Ax2+Bx+C Se busca determinar coeficiente específicos A,B y C Sustituyendo Yp y las derivadas se obtiene Y”p+4y’p-2yp=2A+8AX+4B-2AX2-2BX-2C=2X2-3X+6

¿COMO SE HACE? IGUALES -2A X2 + 8A-2B X+ 2A+4B-2C =2X2 -3X+ 6 Como se supone que la ultima ecuación es una identidad los coeficientes de los exponentes similares a x deben ser iguales: ¿COMO SE HACE? SOLUCION PASO A PASO Es decir, -2A=2, 8A-2B=-3, 2A+4B-2C=6. La solución de este sistema de ecuaciones produce los valores A=-1, B=-5/2 C=-9 Por lo tanto una solución particular seria Yp=-X2- 5/2 X-9