Apuntes de Matemáticas 3º ESO U.D. 6 * 3º ESO E.Ap. Ecuaciones @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Ecuaciones cuadráticas completas U.D. 6.6 * 3º ESO E.Ap. Ecuaciones cuadráticas completas @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Ecuación de 2º grado completa CASO 5 Tiene la forma: a.x2 + b.x + c = 0 Donde a, b y c son distintos de cero. Se resuelven aplicando la fórmula: - b +/- √(b2 – 4.a.c) Con el signo “+” se obtiene x1 x = ---------------------------- = 2.a Con el signo “–” se obtiene x2 FÓRMULA que se puede aplicar a cualquier caso anterior. Ampliación: Deducimos la fórmula … @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Deducción de la fórmula Sea la ecuación cuadrática: a.x2 + b.x + c = 0 1.‑ Restamos c a ambos términos: a.x2 + b.x = ‑c 2.‑ Multiplicamos por 4.a a todo: 4. a2 x2 + 4.a.b.x = ‑ 4.a.c 3.‑ Sumamos b2 a ambos términos: 4. a2 x2 + 4.a.b.x + b2 = b2 ‑ 4.a.c (2.a.x + b)2 = b2 ‑ 4.a.c 4.‑ Extraemos la raíz cuadrada: 2.a.x + b = +/- √ (b2 ‑ 4.a.c) 5.‑ Restamos b a los dos términos: 2.a.x = ‑ b +/- √ (b2 ‑ 4.a.c) 6.‑ Dividimos a ambos términos entre 2.a: ‑ b +/- √ (b2 ‑ 4.a.c) x = ---‑-------‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ 2.a Con el signo “+” hallamos una raíz y con el “-” la otra. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo: Sea la ecuación 2.x2 -10.x + 12= 0 Donde: a=2, b = -10, c=12 Podemos simplificarla, pero no lo hacemos. 1.‑ Restamos c=12 a ambos términos: 2.x2 - 10.x = ‑ 12 2.‑ Multiplicamos por 4.a=4.2= 8 a todo: 16.x2 - 80.x = ‑ 96 3.‑ Sumamos b2 = 100 a ambos términos: 16.x2 - 80.x + 100 = 100 - 96 (4.x - 10)2 = 4 4.‑ Extraemos la raíz cuadrada: 4.x - 10 = +/- 2 5.‑ Restamos b = - 10 a los dos términos: 4.x = ‑ (- 10) +/- 2 6.‑ Dividimos a ambos términos entre 2.a = 2.2 = 4: 10 +/- 2 x = ---‑-------‑‑‑ x1 = (10+2)/4 = 12/4 = 3 4 x2 = (10-2)/4 = 8/4 = 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Resolución de ecuaciones Ejemplo 1 Sea x2 - 3.x + 2 = 0 a = 1 b = - 3 c = 2 - b +/- √(b2 – 4.a.c) x = ---------------------------- = 2.a - (- 3) +/- √(9 – 4.1.2) x = -------------------------------- = 2.1 + 3 +/- 1 (3 + 1) / 2 = 2 = x1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = 2 (3 – 1) / 2 = 1 = x2 Otra solución @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 2 Sea 3.x2 - 5.x + 2 = 0 a = 3 b = - 5 c = 2 - b +/- √(b2 – 4.a.c) x = ---------------------------- = 2.a - (- 5) +/- √(25 – 4.3.2) x = -------------------------------- = 2.3 + 5 +/- 1 (5 + 1) / 6 = 1 = x1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = 6 (5 – 1) / 6 = 4 / 6 = 2 / 3 = x2 Otra solución Nota: Cuando a<>1 c=Entero, una o las dos soluciones son fracciones @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 3 Sea 2.x2 + x - 3 = 0 a = 2 b = 1 c = - 3 - b +/- √(b2 – 4.a.c) x = ---------------------------- = 2.a - 1 +/- √(1 – 4.2.(-3)) x = -------------------------------- = 2.2 - 1 +/- 5 (-1 + 5) / 4 = 1 = x1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = 4 (– 1 – 5) / 4 = - 6 / 4 = - 3 / 2 = x2 Otra. Nota: Cuando a<>1 c=Entero, una o las dos soluciones son fracciones @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 4 Sea x2 + 6.x + 9 = 0 a = 1 b = 6 c = 9 - b +/- √(b2 – 4.a.c) x = ---------------------------- = 2.a - 6 +/- √(36 – 4.1.9) x = -------------------------------- = 2.1 - 6 +/- 0 (-6 + 0) / 2 = - 3 = x1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = 2 (- 6 - 0) / 2 = - 3 = x2 Otra solución. Nota: Cuando b2 – 4.a.c = 0 el valor de las dos soluciones coincide, que es lo que ocurre en este ejemplo @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 5 Sea x2 – 1/6.x – 1/6 = 0 a = 1 b = – 1/6 c = – 1/6 - b +/- √(b2 – 4.a.c) x = ---------------------------- = 2.a 1/6 +/- √(1/36) – 4.1.(– 1/6) x = ----------------------------------------- = 2.1 1/6 +/- 5/6 (1/6 + 5/6) / 2 = 1/2 = x1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = 2 (1/6 – 5/6) / 2 = – 1/3 = x2 Otra solución. Nota: Cuando a=1 c=Fracción, una o las dos soluciones son fracciones @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 6 Sea 6x2 – 1/2.x – 1/12 = 0 a = 6 b = – 1/2 c = – 1/12 - b +/- √(b2 – 4.a.c) x = ---------------------------- = 2.a 1/2 +/- √(1/4) – 4.6.(– 1/12) x = ----------------------------------------- = 2.6 ½ +/- 3/2 (1/2 + 3/2) / 12 = 1/6 = x1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = 12 (1/2 – 3/2) / 12 = – 1/12 = x2 Otra solución. Nota: Cuando c=Fracción, una o las dos soluciones son fracciones @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO