La rana saltarina de Thales XXV Olimpiada Thales

LA RANA SALTARINA DE THALES Thales tenía una rana saltarina y les planteó un juego a sus discípulos: Si la rana se encuentra en el interior de cada una de las figuras e intenta cruzar todos los lados de las mismas una y sólo una vez, terminando fuera de la figura, ¿en cuántas de esas figuras puede la rana trazar un itinerario de dentro a fuera? Thales le demuestra a los amigos que la rana puede hacerlo en el caso del triángulo. ¿Puedes encontrar una regla general para otras figuras? Justifica las respuestas. Utilizando las mismas figuras geométricas que el caso anterior, si la rana empieza y termina dentro de las figuras, ¿podría cruzar todos los lados una y solo una vez? ¿Se podría encontrar análogamente una regla general como en el caso anterior? Justifica las respuestas. Menú Solución

Solución ¡Vayamos por parte para resolver el problema de la rana saltarina! La rana empieza dentro y termina fuera pasando una sola vez por cada lado del triángulo Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera ¿Cómo le demostró Thales a sus amigos que la rana puede hacerlo en el caso del triángulo? Enunciado Menú

¡Ahora la rana está Fuera (F)! Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Caso del triángulo Solución Llamemos A al primer punto de cruce donde la rana pasa de Dentro (D) a Fuera (F) A ¡Ahora la rana está Fuera (F)! Enunciado Menú 4

¡De nuevo la rana está Dentro (D)! Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Caso del triángulo Solución Llamemos B al segundo punto de cruce donde la rana pasa de Fuera (F) a Dentro (D) B ¡De nuevo la rana está Dentro (D)! Enunciado Menú 5

¡Y con el nuevo salto la rana de nuevo está fuera! Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Caso del triángulo Solución Si llamamos C al tercer punto de cruce donde la rana pasa de nuevo de Dentro (D) a Fuera (F) C ¡Y con el nuevo salto la rana de nuevo está fuera! Enunciado Menú 6

En definitiva en el triángulo tenemos el itinerario Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Caso del triángulo Solución Por lo tanto en el caso del triángulo la rana puede trazar un itinerario de dentro-a-fuera, pasando una y solo una vez por los tres lados B A En definitiva en el triángulo tenemos el itinerario D_F_D_F C Tenía razón Thales! Enunciado Menú 7

Seguimos con el cuadrado: ¿Sucederá lo mismo que con el triángulo? Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Caso del triángulo Solución Seguimos con el cuadrado: ¿Sucederá lo mismo que con el triángulo? ¿Se podrá trazar un itinerario de dentro a fuera pasando una sola vez por cada lado del cuadrado? ? Enunciado Menú 8

Solución A Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Caso del cuadrado Solución Veamos la secuencia del itinenario de dentro a fuera de forma análoga con el cuadrado: A Llamemos A al primer punto de cruce donde la rana pasa de Dentro (D) a Fuera (F) Enunciado Menú 9

Solución B Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Caso del cuadrado Solución B Llamemos B al segundo punto de cruce donde la rana pasa de Fuera (F) a Dentro (D) Enunciado Menú 10

Solución C Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Caso del cuadrado Solución Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Llamemos C al tercer punto de cruce donde la rana pasa de Dentro (D) a Fuera (F) C Enunciado Menú 11

¡Y con el nuevo salto la rana de nuevo está Dentro (D)! Caso del cuadrado Solución Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Llamemos D al cuarto punto de cruce donde la rana pasa de Fuera (F) a Dentro (D) D ¡Y con el nuevo salto la rana de nuevo está Dentro (D)! Enunciado Menú 12

En definitiva, en el cuadrado tenemos el itinerario Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Caso del cuadrado Solución A B Por lo tanto ,en el caso del cuadrado la rana no puede trazar un itinerario de dentro-a-fuera, pasando una y solo una vez por los cuatro lados C D En definitiva, en el cuadrado tenemos el itinerario D_F_D_F_D Enunciado Menú 13

¿Qué pasará con el pentágono? Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Caso del pentágono Solución ¿Qué pasará con el pentágono? ¿Se podrá trazar un itinerario de dentro a fuera pasando una sola vez por cada lado del pentágono? ? Enunciado Menú 14

Solución C B A D E Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Caso del pentágono Solución A B C Siguiendo un razonamiento análogo veamos la secuencia del itinerario de dentro a fuera en el pentágono D E Enunciado Menú 15

Solución C B A D E Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Caso del pentágono Solución A D C B E Por lo tanto, en el caso del Pentágono, la rana sí puede trazar un itinerario de dentro-a-fuera, pasando una y solo una vez por los cinco lados Enunciado Menú 16

En definitiva, en el pentágono tenemos el itinerario Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Caso del pentágono Solución A D C B E En definitiva, en el pentágono tenemos el itinerario D_F_D_F_D_F Enunciado Menú 17

¿Qué pasará con el hexágono? Caso del hexágono Solución Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera ¿Qué pasará con el hexágono? ¿Se podrá trazar un itinerario de dentro a fuera pasando una sola vez por cada lado del hexágono? ? Enunciado Menú 18

Siguiendo el mismo razonamiento en el hexágono, tenemos el Caso del hexágono Solución Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera B C Siguiendo el mismo razonamiento en el hexágono, tenemos el itinerario D_F_D_F_D_F_D A F D E Enunciado Menú 19

1. El itinerario es: D-F-D-F Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Solución Tenemos la serie de resultados para las figuras: 1. El itinerario es: D-F-D-F 2. El itinenario es: D-F-D-F-D 3. El itinerario es: D-F-D-F-D-F 4. El itinerario es: D-F-D-F-D-F-D Enunciado Menú 20

pasando una sola vez por cada lado del polígono: Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Solución ¡Con todo lo anterior, es muy fácil dar una respuesta a la pregunta: ¿Puedes encontrar una regla general para otras figuras? Para un polígono regular con un número “n” impar de lados la rana puede seguir un itinerario de Dentro (D) a Fuera (F) pasando una sola vez por cada lado del polígono: D_F_D_F_D_F_D_..........._F Enunciado Menú 21

Solución Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Se ha estudiado el itinerario de la rana cuando se trata de polígonos regulares. ¿Pasaría lo mismo con otras figuras como los polígonos irregulares? n=4 n=6 n=7 n=5 Enunciado Menú 22

D_F_D_F_D D_F_D_F_D_F Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Solución * La secuencia en el itinerario empezando saliendo por A es D_F_D_F_D n=4 A n=5 A * La secuencia en el itinerario empezando saliendo por A es D_F_D_F_D_F Enunciado Menú 23

D_F_D_F_D_F_D D_F_D_F_D_F_D_F Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Solución * * La secuencia en el itinerario empezando saliendo por A es D_F_D_F_D_F_D A * n=6 * * * * La secuencia en el itinerario empezando saliendo por A es D_F_D_F_D_F_D_F A * n=7 * * * * * Enunciado Menú 24

pasando una sola vez por cada lado del polígono: Parte 1 Itinerario: Dentro-Fuera Solución En resumen hemos llegado a un importante resultado como regla general: Para un polígono regular o irregular con un número “n” impar de lados la rana puede seguir un itinerario de Dentro (D) a Fuera (F) pasando una sola vez por cada lado del polígono: D_F_D_F_D_F_D_..........._F Enunciado Menú 25

Solución La rana empieza dentro y termina dentro pasando una sola vez por cada lado del triángulo Parte 2 Itinerario: Dentro-Dentro ¡Una vez estudiados los casos del itinerario dentro (D)-fuera(F) parece fácil responder al itinerario dentro(D)-dentro(D) con las mismas figuras anteriores Enunciado Menú 26

1. El itinerario es: D-F-D-F Parte 2 Itinerario: Dentro-Dentro Solución Solo tenemos que utilizar los resultados obtenidos; sabemos que la serie de resultados para las figuras: 1. El itinerario es: D-F-D-F 2. El itinenario es: D-F-D-F-D 3. El itinerario es: D-F-D-F-D-F 4. El itinerario es: D-F-D-F-D-F-D Enunciado Menú 27

Solución Parte 1 Itinerario: Dentro-Dentro CONCLUSIÓN: Problema resuelto! Es muy fácil dar una respuesta al itinerario dentro(D)-dentro(D) Para un polígono regular e irregular con un número “n” par de lados la rana puede seguir un itinerario de Dentro (D) a Dentro (D) pasando una sola vez por cada lado del polígono: D_F_D_F_D_F_D_F_..........._D Enunciado Menú 28