Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo Monotonía y curvatura Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo x+h f(x+h) TVM(x,h) -TVM(x,h) x h f(x) h x+h x f(x+h) [ a ] b f(x) [ a ] b Función creciente en [a, b] Función decreciente en [a, b] f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0 f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0 TVM(x, h) > 0 (x, x+h) y h >0 TVM(x, h) < 0 (x, x+h) y h >0 IMAGEN FINAL

] ] [ [ Derivadas y monotonía a a b b a a x x Monotonía y curvatura Derivadas y monotonía a a x x [ a ] b [ a ] b Función creciente en [a, b] Función decreciente en [a, b] f '(x) = tg a > 0 x [a, b] f '(x) = tg a < 0 x [a, b] IMAGEN FINAL

Ejemplo 2x Intervalos de monotonía de y = 1 + x2 2(1 - x)(1 + x) Monotonía y curvatura Ejemplo 2x Intervalos de monotonía de y = 1 + x2 y ' = 2(1 - x)(1 + x) 1 + x2 1 + x2 2(1 - x)(1 + x) = 0 ; x = 1  Siempre positivo -1 1 y’ < 0 y’ > 0 y’ < 0 IMAGEN FINAL

Curvatura: convexidad y concavidad Monotonía y curvatura Curvatura: convexidad y concavidad [ a ] b [ a ] b Tasa de variación media positiva y creciente: función convexa Tasa de variación media negativa y creciente: función convexa [ a ] b [ a ] b Tasa de variación media positiva y decreciente: función cóncava Tasa de variación media negativa y decreciente: función cóncava IMAGEN FINAL

Derivadas y curvatura: convexidad Monotonía y curvatura Derivadas y curvatura: convexidad [ a ] b [ a ] b a1 a1 a2 x1 x2 a2 x1 x2 tg a1 < tg a2  f '(x1) < f '(x2) Las pendientes de las tangentes aumentan  f ' es creciente  f " > 0  función convexa IMAGEN FINAL

Derivadas y curvatura: concavidad Monotonía y curvatura Derivadas y curvatura: concavidad [ a ] b [ a ] b a1 a2 a1 a2 x1 x2 x1 x2 tg a1 > tg a2  f '(x1) > f '(x2) Las pendientes de las tangentes disminuyen  f ' es decreciente  f " < 0  función cóncava IMAGEN FINAL

Puntos de inflexión f" < 0 P(a, f(a)) f" > 0 f"(a) = 0 Monotonía y curvatura Puntos de inflexión f" < 0 P(a, f(a)) f" > 0 f"(a) = 0 IMAGEN FINAL

Puntos extremos: máximos y mínimos relativos Monotonía y curvatura Puntos extremos: máximos y mínimos relativos máximo relativo de coordenadas (b, f(b)) f " (b) < 0 f ' (b) = 0 a b f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0 f ' (a) = 0 f " (a) > 0 mínimo relativo de coordenadas (a, f(a)) IMAGEN FINAL

B A Máximos y mínimos (I) 7 km. 3 km. Costa 10 km. Monotonía y curvatura Máximos y mínimos (I) Costa B A 7 km. 3 km. 10 km. Llegar desde A hasta B, tocando en la costa y recorriendo la menor distancia posible IMAGEN FINAL

mínima distancia entre A' y B = mínima distancia entre A y B = Monotonía y curvatura Máximos y mínimos (II) A B 3 km. 7 km. 10 km. mínima distancia entre A' y B = mínima distancia entre A y B = = ACB C X 10 - X A' 3 x 7 10 -x =  x = 3 ¿Se podrían hacer utilizando las derivadas? IMAGEN FINAL