MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I 1º BTO A 19/02/2019 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I 1º BTO A Colegio Ntra. Sra. del Buen Consejo (Agustinas) 19/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

Juan Antonio Romano Largo TEMAS 10: Derivadas. Tasa de variación media. Tasa de variación instantánea y derivada de una función en un punto. Cálculo de derivadas. Operaciones con derivadas. Regla de la cadena. Aplicaciones de las derivada. Problemas de optimización. 19/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

Tasa de variación media. Tasa de variación instantánea y derivada de una función en un punto. La derivada de una función f(x) en un punto “a” representa la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto, es decir, nos indica como varía la función.

Juan Antonio Romano Largo Cálculo de derivadas. 19/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

Operaciones con derivadas. Regla de la cadena. Para hacer la derivada de una función compuesta f(g(x)) derivamos en primer lugar la función f y multiplicamos por la derivada de lo de dentro, es decir, de la función g. 19/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

Juan Antonio Romano Largo 19/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

Derivadas con logaritmos. Las propiedades de los logaritmos pueden simplificar mucho el cálculo de una derivada: Si empezamos a derivar tenemos un logaritmo, que dentro tiene una raíz cúbica, que dentro tiene un cociente al cuadrado (¡complicado!), pero si simplificamos primero quedará mucho más sencillo: Derivamos: 19/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

Aplicaciones de las derivadas. Crecimiento y decrecimiento. La derivada de una función f’(x) nos va a decir en que intervalos la función de la que procede, f(x), es creciente o decreciente: Máximos y mínimos relativos. La derivada de una función f’(x) nos va a decir en que puntos puede haber máximos o mínimos relativos, pues en ellos se verifica que: 19/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

Juan Antonio Romano Largo En los máximos la función pasa de crecer a decrecer luego la derivada pasará de ser positiva a ser negativa. En los mínimos la función pasa de decrecer a crecer luego la derivada pasará de ser negativa a ser positiva . Curvatura. La 2ª derivada de una función f’’(x), que es la derivada de la 1ª derivada, nos va a decir si la función es cóncava o convexa: Punto de inflexión. Es cuando la función pasa de ser cóncava a convexa o al revés, es decir, cuando hay un cambio de curvatura y se verifica que en los puntos de inflexión: 19/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

Problemas de optimización. Con la segunda derivada también podemos clasificar los puntos en los que la primera derivada es cero, para saber si son máximos o mínimos relativos: Problemas de optimización. Se trata de hallar el máximo o el mínimo (según el enunciado) de una función, pero con alguna condición. 1.- Establecemos la función a optimizar f(x,y) y la condición g(x,y) = 0 2.- En la condición despejamos una variable (por ejemplo “y”) y sustituimos en la función pasando a depender ésta de una sola variable (en este caso “x”) 3.- Hallamos la derivada f’(x), igualamos a cero y sacamos los puntos críticos. 4.- Los clasificamos para ver si son máximos o mínimos. 5.- Hallamos el valor de la otra variable. 19/02/2019 Juan Antonio Romano Largo