Integrales indefinidas y problemas de valor inicial Ecuaciones diferenciales a variables separables Miriam Benhayón

MODELADO DE FENÓMENOS ECUACIONES DIFERENCIALES Una ecuación diferencial contiene una función incógnita y una o más de sus derivadas ORDEN: es el que corresponde a la derivada de orden más alto que aparece en la ecuación SOLUCIÓN: ES UNA FUNCIÓN QUE SATISFACE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL Miriam Benhayón

VARIABLES SEPARABLES Una ecuación diferencial separable presenta la siguiente forma: Se resuelve integrando a ambos miembros de la ecuación

EJERCICIOS Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: RPTAS: 1. y4 = 1/2 e2x+C 2. y2 = -(x2+1)1/2+2

EJERCICIOS Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: RPTAS: 1. y2 = 2lnx+2x+C 2. y = 2x2/(x2+1)

EJERCICIOS RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES

Modelo de derrames (Aplicación de ecuaciones diferenciales)

dy/dt=(razón de entrada)-(razón de salida) Consideraciones y(t) = cantidad de líquido en el interior de un tanque en un instante “t” cualquiera dy/dt=(razón de entrada)-(razón de salida)

PROBLEMA DE APLICACIÓN (1) Se dispone de un tanque que contiene 150 litros de agua oxigenada. A causa de una fisura, el tanque pierde líquido a razón de (25-t2) litros/hora. Se desea averiguar la cantidad de líquido presente al cabo de 5 horas después de haberse iniciado el escape. pasos a seguir: Encuentre una expresión general para la cantidad de litros y(t) presentes en el tanque en un momento cualquiera. Halle el valor de la constante de integración con la condición inicial Determine los litros de agua que contendrá el tanque transcurridas 5 horas

Sumas de Riemann Integral Definida Teorema fundamental del Cálculo Miriam Benhayón

PROBLEMA DEL ÁREA ¿Cómo determinar el área de una región de lados curvos? A través de aproximaciones… f(x) x b a A??

PROBLEMA DEL ÁREA Para estimar A dividiremos el área bajo la curva en rectángulos de igual ancho f(x) x b a f(x) ∆xk La aproximación del área mejora cuando se toman más rectángulos Se considera al área como límite de una suma

PROBLEMA DEL ÁREA Aproximación del área por defecto La aproximación del área mejora cuando se toman más rectángulos Se considera al área como límite de una suma

PROBLEMA DEL ÁREA Aproximación del área por exceso La aproximación del área mejora cuando se toman más rectángulos Se considera al área como límite de una suma

INTEGRAL DEFINIDA- DEFINICIÓN Si f(x) es continua definida en el intervalo [a,b], entonces la integral definida de f desde a hasta b es: Donde A es el área bajo la curva f(x) en el intervalo considerado y se calcula a través de la expresión conocida como la suma de RIEMANN

NOTACIÓN DE LEIBNITZ La integral definida es un NÚMERO Límite superior de integración integrando Límite inferior de integración La integral definida es un NÚMERO

PROPIEDADES

Teorema Fundamental del Cálculo Sea f continua en [a,b], entonces: donde F(x) es cualquier antiderivada de f (x), esto es: F ’ (x) = f(x)

EJERCICIO Encuentre, si es posible, el valor de la integral en cada caso

Modelo de derrames (Continuación…)

PROBLEMA DE APLICACIÓN (2) una piscina

PROBLEMA DE APLICACIÓN (3)

PROBLEMA DE APLICACIÓN (4)