MATEMATICAS APLICADAS A LAS CCSS-II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS IES LÓPEZ-NEYRA (CÓRDOBA) MATEMATICAS APLICADAS A LAS CCSS-II 2º de BACHILLERATO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Fco. Javier del Rey

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (I) Definición.- Llamamos sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a los sistemas cuya forma es: Donde son respectivamente: Los coeficientes del sistema Los términos independientes Las incógnitas Expresión matricial del sistema.- El sistema anterior se puede expresar usando matrices de la forma siguiente: Donde: C matriz de los coeficientes X matriz de las incógnitas B matriz términos independientes Solución del sistema.- Es todo conjunto de números reales, , que satisfacen a la vez las m ecuaciones del sistema.

TIPOS DE Sistemas De ecuaciones lineales SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (II) Tipos de sistemas lineales.- Basándonos en el número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser: Ejemplos DETERMINADOS Tienen una solución COMPATIBLES Tiene solución TIPOS DE Sistemas De ecuaciones lineales INDETERMINADOS Tienen infinitas soluciones INCOMPATIBLES No tiene solución

ANÁLISIS DEL SISTEMA Rouché-Fröbenius Teorema de Método de Gauss MÉTODOS CONDICIONES   La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas sea COMPATIBLE, es que el rango de la matriz de los coeficientes C y el rango de la matriz ampliada A, sean iguales (sea h su valor). Es decir: Rouché-Fröbenius Teorema de Sistema Incompatible r(C)≠r(A) Determinado h=n Sistema Compatible r(C)=r(A)=h Indeterminado h<n El método de Gauss es una generalización del conocido método de reducción. Sea el sistema de n ecuaciones con n incógnitas. (Importante, tienen el mismo número de ecuaciones que de incógnitas) Mediante transformaciones (se verán posteriormente) vamos a transformar nuestro sistema en otro equivalente (tienen las mismas soluciones) al primero, y cuya forma es: Método de Gauss El teorema de Gauss dice: 1) S.C.D. Ejercicios: Pág. 48 el 10-b -Solo discutir- (libro). (Por CRAMER). Ejercicios: Pág. 101 el 9-b (libro). (Por R.-F.). 2) S.C.I. 3) S.I.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Método de Cramer Método Gauss de Ejercicios:   Este método se aplica a aquellos sistemas que tienen el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, siendo , , es decir debe ser un sistema compatible. Sea el sistema: Se puede demostrar que su solución viene dada por: Método de Cramer Una vez escalonado el sistema utilizando el método de Gauss, vimos que quedaba: Pues bien, si el sistema resulta ser compatible, su resolución es muy fácil, basta con: despejar xn de la última ecuación y la sustituir su valor en la penúltima para obtener xn-1. Así sucesivamente vamos calculando las demás incógnitas. Método Gauss de Ejercicios: Pág. 102 el 11-a-d y 13-a (libro). Ejercicios: Pág. 48 el 7-b-c (libro).

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES HOMOGENEOS Definición.- Son aquellos sistemas de ecuaciones lineales en los que los términos independientes de todas las ecuaciones son nulos. Es decir: b1=0, b2=0, ...., bm=0 . Solución de los sistemas homogeneos.- Al ser todos los términos independientes cero, el rango de la matriz de los coeficientes coincidirá siempre con el de la ampliada, por tanto son siempre sistemas compatibles. Pueden darse dos casos: r(C)=r(A)=h=n S.C.D. Solución trivial x1=x2=…=xn=0 - Esta solución trivial la tienen todos los sistemas homogéneos, por lo que carece de sentido - 2) r(C)=r(A)=h<n S.C.I. Infinitas soluciones

APLICACIÓN DE LOS SISTEMAS LINEALES A LA GEOMETRÍA Posición relativa de dos rectas en el plano.- En el plano la ecuación de una recta se puede expresión de la forma: Ahora vamos a intentar el estudio de la posición relativa de dos rectas en el plano: Si aplicamos el método de Gauss y escalonamos el sistema, quedará de la forma: Según el método de Gauss: a) Si Una solución. Se cortan en un punto. b) Si Infinitas soluciones. Son coincidente. Ejercicios: Pág. 102 el 22-a-d, 19 (libro). Ejercicios: Pág. 104 el 45-a (libro). c) Si No existe solución. Son paralelas.