MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA CEPRE UNI MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Ing. JORGE COSCO GRIMANEY

MOVIMIENTO OSCILATORIO Son muchos los sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturaleza La partícula se desplaza entre dos posiciones extremas siguiendo la misma trayectoria en torno a un punto de equilibrio

MOVIMIENTO OSCILATORIO

MOVIMIENTO OSCILATORIO

MOVIMIENTO OSCILATORIO x y PE N mg Fe k

MOVIMIENTO PERIODICO Es aquel movimiento que a intervalos regulares de tiempo se repiten los valores de las magnitudes que lo caracterizan, El tiempo regular se denomina periodo.

MOVIMIENTO PERIODICO

MOVIMIENTO ARMONICO Es el movimiento en que la posición, velocidad y aceleración se pueden describir mediante funciones senoidales o cosenoidales. De todos los movimientos armónicos, el más sencillo es el Movimiento Armónico Simple

CAUSAS DE LA OSCILACION La causa del movimiento oscilatorio es la fuerza restauradora que aparece cuando se saca el cuerpo de su posición de equilibrio

TIPOS DE EQUILIBRIO El equilibrio es estable si el cuerpo, al apartarse de su posición de equilibrio, vuelve al puesto que antes tenía, por efecto de la fuerza de recuperadora. Ejemplo: El péndulo, la plomada, una campana colgada.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Es un movimiento rectilíneo, periódico y oscilante de una partícula que ocurre debido a la acción de una fuerza recuperadora, de la forma -Kx en donde su posición varía con el tiempo y se representa con una función seno o coseno Función seno t

POSICIÓN DE EQUILIBRIO PARAMETROS EN EL MAS Elongación Es la posición de la partícula medida desde la PE. Amplitud de oscilación (A) Es la máxima elongación, es decir: xmax= A POSICIÓN DE EQUILIBRIO AAMPLITUD x=-A x=0 x=A x(t) x(t)Elongación

PARAMETROS EN EL MAS Periodo (T) Es el tiempo que tarda la partícula en dar una oscilación completa Frecuencia () Es el número de vibraciones por unidad de tiempo  =1/T Frecuencia angular () Es el número de periodos comprendidos en 2 π segundos. En el S.I. se mide en rad/s . Se expresa :  = 2 / T = 2

t=0 Fase del movimiento (t + ) Es el argumento de la función seno o coseno Fase inicial () Esta relacionada con las condiciones iníciales del movimiento es decir nos da información sobre la posición y velocidad en el instante t0 = 0 t=0

Fase inicial de la función Seno ()

MAS y MCU Podemos imaginar un M.A.S. como una proyección de un Movimiento Circular Uniforme. El desfase nos indica la posición del cuerpo en el instante inicial. Cuando un objeto gira con movimiento circular uniforme sobre una circunferencia, su proyección sobre el diámetro coincide con la posición de un objeto que describe un MAS sobre ella. t=0

MAS y MCU Cada revolución en el MCU se convierte en una oscilación en el MAS La proyección del vector velocidad del MCU sobre el diámetro da lugar al vector velocidad del MAS La proyección del vector aceleración normal del MCU sobre el diámetro da lugar al vector aceleración del MAS

CINEMATICA DEL MAS Consideremos una partícula que se mueve con un MAS en el eje X, como se muestra en la figura.

POSICION DE LA PARTICULA Se mide desde el centro (0), que corresponde a la posición de equilibrio (PE). Alcanza sus máximos (amplitud) en los extremos de la trayectoria. Donde A y –A es la amplitud máxima X(t) = A Sen (wt + φ1) o X(t) = A Cos (wt + φ2)

POSICION DE LA PARTICULA La posición de una partícula que describe un movimiento armónico simple puede ser determinada por una ecuación de movimiento La partícula describe un movimiento armónico simple

(t + ) : Es el argumento de la función armónica (en radianes) y  : Fase inicial, es un ángulo que nos indica el punto (xo) donde se empieza a medir el tiempo (to = 0).

VELOCIDAD DE LA PARTICULA v(t) = ωA Cos (ωt + φ)

ACELERACION DE LA PARTICULA Siempre señala hacia la PE. Su magnitud es proporcional a la posición del móvil. a(t) = - ω2A Sen (ωt + φ) a(t) = - ω2 X(t)

Ecuaciones cinématicas Posición: Velocidad : Aceleración :

Gráficas de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo, para el caso ( = 0 )

coseno seno 1 sen(t+) = cos(t+ - /2) -1 1 -1 v x(t) x=-A x=0 x=A FASE INICIAL DEL M.A.S. coseno -1 1 seno -1 1 sen(t+) = cos(t+ - /2) Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno x(t) = A cos (wt - pi/2) x(t) = A sen (wt+0) t=0 --> fase =-pi/2 -->cos(-pi/2)=0 t=0 --> fase =0--> sen(0)=0 t=0 --> fase = 2pi --> sen(2pi)=0 v x(t) x=-A x=0 x=A

coseno seno sen(t+) = cos(t+ - /2) 1 x(t) A -1 1 t -A -1 -1 1 seno -1 1 0 T/4 T/2 3T/4 T x(t) t -A A GRÁFICA posición - tiempo Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno x(t) = A cos (wt+0) x(t) = A sen (wt+pi/2) t=0 --> fase =0 --> cos(0)=1 MAX t=0 --> fase =pi/2 --> sen(pi/2)=1 MAX x(t) x=-A x=0 x=A

coseno seno x(t) = A cos (wt+pi/3) sen(t+150) = cos(t+150 -/2) coseno -1 1 seno -1 1 Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno x(t) = A cos (wt+pi/3) x(t) = A sen (wt+5pi/6) t=0 --> fase =pi/3 -->cos(pi/3)=1/2 t=0 --> fase =5pi/6 --> sen(5pi/6)=1/2 v x(t) x=-A x=0 x=A A/2

coseno seno 1 -1 1 -1 x(t) = A cos (wt+pi/2) x(t) = A sen (wt+pi) v -1 1 seno -1 1 Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno x(t) = A cos (wt+pi/2) x(t) = A sen (wt+pi) t=0 --> fase =pi/2 -->cos(pi/2)=0 t=0 --> fase =pi--> sen(pi)=0 v x(t) x=-A x=0 x=A

coseno seno 1 -1 1 -1 x(t) = A cos (wt+2pi/3) x(t) = A sen (wt+7pi/6) -1 1 seno -1 1 Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno x(t) = A cos (wt+2pi/3) x(t) = A sen (wt+7pi/6) t=0 --> fase =2pi/3 -->cos(2pi/3)=-1/2 t=0 --> fase =7pi/6 --> sen(7pi/6)=-1/2 v x(t) x=-A x=0 x=A

coseno seno 1 -1 1 -1 x(t) = A cos (wt+pi) x(t) = A sen (wt+3pi/2) -1 1 seno -1 1 Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno x(t) = A cos (wt+pi) x(t) = A sen (wt+3pi/2) t=0 --> fase =pi --> cos(pi)=-1 MIN t=0 --> fase =3pi/2 --> sen(3pi/2)=-1 MIN x(t) x=-A x=0 x=A

coseno seno 1 -1 1 -1 x(t) = A cos (wt-pi/2) x(t) = A sen (wt+0) v -1 1 seno -1 1 Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno x(t) = A cos (wt-pi/2) x(t) = A sen (wt+0) t=0 --> fase =-pi/2 -->cos(-pi/2)=0 t=0 --> fase =0--> sen(0)=0 t=0 --> fase = 2pi --> sen(2pi)=0 v x(t) x=-A x=0 x=A

coseno seno 1 -1 1 -1 x(t) = A cos (wt-pi/3) x(t) = A sen (wt+pi/6) v -1 1 seno -1 1 Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno x(t) = A cos (wt-pi/3) x(t) = A sen (wt+pi/6) t=0 --> fase =-pi/3 -->cos(-pi/3)=1/2 t=0 --> fase =pi/6 --> sen(pi/6)=1/2 v x(t) x=-A x=0 x=A

RESUMEN de CINEMATIVA DEL MAS El Movimiento Armónico Simple es un movimiento periódico en el que la posición varía según una ecuación de tipo senoidal o cosenoidal La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo máxima en el centro de la trayectoria y nula en los extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento. El M.A.S. es un movimiento acelerado no uniformemente. Su aceleración es proporcional al desplazamiento y de signo opuesto a este. Toma su valor máximo en los extremos de la trayectoria, mientras que es mínimo en el centro.

DINAMICA DEL MAS La fuerza recuperadora sobre el móvil es proporcional a su desplazamiento respecto de la posición de equilibrio

Sistema Masa- Resorte Horizontal Estudiemos la oscilación de un cuerpo de masa m, unido a un resorte de constante elástica k y masa despreciable denominado oscilador armonico simple. x y PE N mg Fe k El sistema cuerpo-resorte realiza oscilaciones armónicas simples sobre una superficie horizontal sin fricción. La fuerza restauradora es elástica,

Fres = Felást = -kx = m ax = m(-2x)= -m  2x Como la masa se mueve con MAS, entonces: ax = -  2x Planteando la segunda Ley de Newton para el movimiento del cuerpo: Fres = Felást = -kx = m ax = m(-2x)= -m  2x Comparando: k x = m  2 x

SISTEMA MASA - RESORTE VERTICAL  PE y A -A mg -k(+y) -k

CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA EN EL MAS Consideremos el sistema masa-resorte y la fuerza del tipo conservativo y k x PE v

=0 T

ENERGÍA - POSICIÓN) Energías x(t) E. POTENCIAL E. CINÉTICA E. MECÁNICA -A ¿? -A/2 0 A/2 ¿? A x(t) Energías E. POTENCIAL E. CINÉTICA E. MECÁNICA

ALGUNAS FORMULAS IMPORTANTES EN EL MAS

RESUMEN de ENERGIA del MAS La fuerza elástica que origina un M.A.S. es conservativa. La energía potencial elástica que lleva asociada es nula en el centro de la trayectoria y máxima en sus extremos. La energía cinética en el M.A.S. varía continuamente, siendo máxima en el centro de la trayectoria y nula en sus extremos. Dado el carácter conservativo de la fuerza elástica, la energía mecánica total del cuerpo permanece constante a lo largo de toda la trayectoria.

PENDULO SIMPLE Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.

Para oscilaciones pequeñas Fres = - mgsen

El periodo de oscilación no depende de la masa ni del Angulo α  x L El periodo de oscilación no depende de la masa ni del Angulo α

ECUACIONES DEL PENDULO SIMPLE