MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I 1º BTO A 16/02/2019 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I 1º BTO A Colegio Ntra. Sra. del Buen Consejo (Agustinas) 16/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

TEMA 2: Expresiones algebraicas. Polinomios. Suma y resta de polinomios. Producto de un número por un polinomio. Producto de polinomios. Identidades notables. Cociente de polinomios. Regla de Ruffini. Teorema del resto. Factorización de polinomios. Fracciones algebraicas. Operaciones con fracciones algebraicas. 16/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

Polinomios. P = 8x5 – 6x4 – 3x2 + x – 2 Un monomio es toda expresión de la forma axk a es un número denominado coeficiente x es una variable k es un número natural llamado grado del monomio Un polinomio es una expresión que es suma o resta de monomios. Término principal Grado del polinomio P = 8x5 – 6x4 – 3x2 + x – 2 Término independiente o término de grado 0 Término de grado 2 El valor numérico de P en a, P(a), se obtiene sustituyendo x por a

Suma y resta de polinomios. Producto de un número por un polinomio Se llama raíz de un polinomio P(x) a los valores de x que hacen que el polinomio se anule. x = a es raíz de P(x)  P(a) = 0 EJ.: x = 1 es raíz de P(x) = – 2x2 – x + 3 ya que P(1) = – 2·12 – 1 + 3 = 0 Suma y resta de polinomios. Producto de un número por un polinomio Para sumar o restar polinomios debemos sumar o restar los términos semejantes (los del mismo grado). Para multiplicar un número por un polinomio debemos multiplicar a todos los coeficientes del polinomio por dicho número. 16/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

Producto de polinomios. Para multiplicar dos polinomios debemos multiplicar todos los términos del primero por todos los términos del segundo y después agrupar los términos semejantes. Identidades notables. 16/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

Cociente de polinomios. Dados dos polinomios P (el dividendo) y D (el divisor), dividir P entre D es encontrar dos polinomios Q (el cociente) y R (el resto) tales que P = Q . D + R siendo grado(R) < grado(D) Algoritmo de la división Primer paso 3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4 Cociente de los términos de mayor grado – (3x5 + 2x4 –4x3) x3 Se resta x3 . D 6x4 + 4x3 – 11x2 – 3x + 6 3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4 x3 – (3x5 + 2x4 –4x3) 6x4– 4x3 – 11x2 – 3x + 6 Segundo paso Cociente de los términos de mayor grado + 2x2 – (6x4+ 4x3 – 8x2) Se resta 2x2 . D – 3x2 – 3x + 6 Tercer paso 3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4 – (3x5 + 2x4 –4x3) 6x4– 4x3 – 11x2 – 3x + 6 – (6x4– 4x3 – 11x2) x3 + 2x2 Cociente de los términos de mayor grado – 1 –(– 3x2 – 2x + 4) Se resta (–1) . D – 3x2 – 3x + 6j cociente – x + 2 resto

Juan Antonio Romano Largo Regla de Ruffini. Se utiliza para realizar divisiones de la forma P(x) : (x – a) Ej.: (3x3 + 4x -6):(x + 2) Paso 1: Escribir los coeficientes del dividendo ordenados y poniendo ceros en los que falten. En la parte inferior izquierda se escribe el término independiente del divisor, pero cambiado de signo. Paso 2: Bajamos el primer coeficiente, lo multiplicamos por -2, lo colocamos debajo del segundo coeficiente y sumamos. 16/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

Juan Antonio Romano Largo Paso 3: Se repite el proceso hasta el último número. Paso 4: El último número es el resto y los anteriores son los coeficientes del cociente. Resto  -38 Cociente  3x2 – 6x +16 16/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

Factorización de polinomios. Teorema del resto. Teorema del resto: el resto de dividir un polinomio P(x) entre (x – a) es P(a) Ej.: Calcula el resto de la división: P(x) = 12x3 – 33x2 + 45x -125 entre x + 2 Resto = P(-2) = 12(-2)3 – 33(-2)2 + 45(-2) -125 = -443 Factorización de polinomios. Ejemplo: descomponer P = x3 –x2 – 4x+4 1.– Buscamos posibles soluciones de la ecuación x3 –x2 – 4x+4 = 0 entre los divisores del término independiente: {1, –1, 2, –2, 4, –4}. La regla de Ruffini nos permite encontrar cuáles de ellos son ceros del polinomio. 1 –1 –4 4 –2 –2 6 –4 1 – 3 2 0 2.– Por tanto P = (x + 2) (x2 – 3x + 2) 3.– Intentamos descomponer x2 – 3x + 2. Como la ecuación correspondiente tiene por soluciones 1 y 2, posible descomponer más este polinomio. Por tanto: x3 – x2 –4x + 4 = (x + 2).(x – 1) (x – 2)

Fracciones algebraicas. Una fracción algebraica es un cociente de polinomios: P(x) / Q(x) P(x) es el numerado y Q(x) es el denominador. Ha de ser Q(x)  0 El valor numérico de F en a, F(a), se obtiene haciendo x = a. Como la división por 0 no existe este valor no está definido si Q(a) = 0 P(x) Q(x) R(x) S(x) Dos fracciones algebraicas y son equivalentes si P(x) . S(x) = Q(x) . R(x) Cuando dos fracciones son equivalentes se escribe: El valor en a de dos fracciones es el mismo si sus valores están definidos. Pero es posible que el valor en a de una de las fracciones esté definido y el de la otra no. P(x) Q(x) = R(x) S(x)

Simplificación de fracciones algebraicas Simplificar una fracción algebraica consiste en eliminar los factores comunes en el numerador y el denominador. Para simplificar una fracción: primero se factorizan numerador y denominador y luego se cancelan los factores comunes Ejemplo: simplificar F(x) = P(x) Q(x) x3 – 3x2 + x – 3 x4 – 1 = 1.– Factorizamos mediante la regla de Ruffini los polinomios numerador y denominador. En este caso obtenemos: P(x) = (x – 3) (x2 + 1); Q(x) = (x – 1) (x + 1) (x2 + 1) 2.– Al simplificar obtenemos: x3 – 3x2 + x – 3 x4 – 1 (x – 3) (x2 + 1) (x – 1) (x + 1) (x2 + 1) x – 3 x2 – 1 F(x) = = =

Operaciones con fracciones algebraicas. Las reglas para operar con fracciones algebraicas son análogas a las que rigen la operaciones con números racionales Suma y diferencia: para sumar o restar fracciones algebraicas, se buscan fracciones algebraicas equivalentes con denominador común y se suman o restan los numeradores + x – 2 x2 – 1 x2 – 3x x2 – 2x + 1 = + x – 2 (x – 1)(x + 1) (x – 3)x (x – 1)2 = + (x – 2)(x – 1) (x – 1)2 (x + 1) (x – 3) x (x + 1) = x2 – 3x + 2 + x3 – 2x2 – 3x (x – 1)2 (x + 1) = x3 – x2 – 6x +2 (x – 1)2 (x + 1) =

Operaciones con fracciones algebraicas. Producto: para multiplicar fracciones algebraicas se multiplican entre si los numeradores y los denominadores . x4 – 1 2x + 1 x – 2 x2 – 2x + 1 = (x – 2) (x4 – 1) (x2 – 2x + 1) (2x + 1) = (x – 2) (x – 1) (x + 1) (x2 + 1) (x – 1)2 (2x + 1) = (x – 2) (x + 1) (x2 + 1) (x – 1) (2x + 1) = x4 - x3 -x2 -x -2 2x2 - x - 2 =

Operaciones con fracciones algebraicas. Inversa de una fracción algebraica: la inversa de una fracción algebraica P(x)/Q(x) es la fracción (P(x)/Q(x)) -1 = Q(x)/P(x) División de fracciones algebraicas: para dividir una fracción algebraica entre otra, se multiplica la primera por la inversa de la segunda x4 + 1 2x – 1 x3 – 1 2x2 + x = : 2x – 1 x4 + 1 x3 – 1 2x2 + x = . (x3 – 1) (2x – 1) (2x2 + x) (x4 + 1) = 2x4 - x3 - 2x + 1 2x6 + x5 + 2x2 + x