Ing. Alfonso Álvarez Grayeb

Presentación del tema: "Ing. Alfonso Álvarez Grayeb"— Transcripción de la presentación:

1 Ing. Alfonso Álvarez Grayeb
Tutorial de Álgebra básica Coordinación de Ciencias Básicas Ing. Alfonso Álvarez Grayeb Instrucciones de navegación (hacer clic en este botón)

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Ir a Núm. Reales y sus Propiedades Ir a Valor Absoluto Ir a Exponentes Ir a Radicales Menú General de temas Ir a Factorización Ir a Operaciones algebraicas Ir a Fracciones algebraicas Instrucciones de navegación Ir a Despeje de variables Para salir del tutorial pulsa la tecla ESC

4 Los números Reales R Ir a Clasificación de los Reales
Ir a propiedad Conmutativa Los números Reales R Clasificación y propiedades Ir a propiedad Asociativa Ir a propiedad Distributiva Ir a Otras Propiedades de Reales Ir a propiedades de Fracciones Ir a Menú principal Ir a Menú principal Ir a Menú principal

5 Los números Naturales sirven para contar objetos (son los enteros positivos)
Naturales N Ir a Menú principal

6 Los Enteros Z incluyen además de los naturales, al cero y a los negativos
Enteros Z Naturales N 23 Ir a Menú principal

7 Racionales Q Enteros Z Naturales N
-Los Racionales Q se forman con el cociente de dos enteros. -Tienen un número finito de cifras decimales. -O bien, sus cifras decimales son periódicas. -Los Q incluyen a los Z y a los N Racionales Q 2/ Enteros Z Naturales N 23 23/105 Ir a Menú principal

8 Racionales Q Enteros Z Irracionales Q’ Naturales N
-Los Irracionales Q’ se caracterizan porque: –No pueden expresarse como el cociente de enteros. -Sus cifras decimales son infinitas y no-periódicas Racionales Q 2/ Enteros Z Irracionales Q’ Naturales N 23 23/105 Ir a Menú principal

9 Los números Reales son los Racionales Q y los Irracionales Q’
Los números Reales son los Racionales Q y los Irracionales Q’ Racionales Q 2/ Enteros Z Irracionales Q’ Naturales N 23 23/105 Ir a N. Reales Ir a Menú principal

10 Propiedad Conmutativa de suma y producto
Conmutar es intercambiar de lugar (esto sólo es válido para la suma y el producto) Ir a Menú principal

11 Propiedad Conmutativa de suma y producto
Ejemplo: escribir la siguiente expresión de otra manera, aplicando la ley conmutativa: Ir a Menú principal

12 Propiedad Conmutativa de suma y producto
Ejemplo: escribir la siguiente expresión de otra manera, aplicando la ley conmutativa: Aplicando la ley conmutativa del producto, tenemos: Ir a Menú principal

13 Propiedad Conmutativa de suma y producto
Ejemplo: escribir la siguiente expresión de otra manera, aplicando la ley conmutativa: Aplicando la ley conmutativa del producto, tenemos: Y aplicándola a la suma del paréntesis, obtenemos finalmente: Ir a N. Reales Ir a Menú principal

14 Propiedad Asociativa de suma y producto
Asociar es agrupar de cierta manera Ir a Menú principal

15 Propiedad Asociativa de suma y producto
Ejemplo: escribe expresiones equivalentes a la siguiente, aplicando la propiedad asociativa además de la conmutativa: Ir a Menú principal

16 Propiedad Asociativa de suma y producto
Ejemplo: escribe expresiones equivalentes a la siguiente, aplicando la propiedad asociativa además de la conmutativa: Asociando o agrupando los términos de otra forma, tenemos: Ir a Menú principal

17 Propiedad Asociativa de suma y producto
Ejemplo: escribe expresiones equivalentes a la siguiente, aplicando la propiedad asociativa además de la conmutativa: Asociando (o agrupando) los términos de otra forma, tenemos: Sumando los términos semejantes (los que tienen la misma parte variable), obtenemos finalmente: Fin de este ejemplo Ir a N. Reales Ir a Menú principal

18 Propiedad Distributiva de suma y producto
Ejemplo: usa la propiedad distributiva para simplificar la expresión: Ir a Menú principal

19 Propiedad Distributiva de suma y producto
Ejemplo: usa la propiedad distributiva para simplificar la expresión: Aplicando la propiedad distributiva en las dos partes de la expresión, tenemos: Ir a Menú principal

20 Propiedad Distributiva de suma y producto
Ejemplo: usa la propiedad distributiva para simplificar la expresión: Aplicando la propiedad distributiva en las dos partes de la expresión, tenemos: Que es equivalente a: Ir a Menú principal

21 Propiedad Distributiva de suma y producto
Ejemplo: usa la propiedad distributiva para simplificar la expresión: Aplicando la propiedad distributiva en las dos partes de la expresión, tenemos: Que es equivalente a: Por la propiedad asociativa, agrupando los términos semejantes, obtenemos: Ir a N. Reales Ir a Menú principal

22 Otras propiedades de los números Reales
Ejemplo: Escribir la expresión siguiente en varias formas equivalentes aplicando alguna propiedad de los Reales: Ir a Menú principal

23 Otras propiedades de los números Reales
Ejemplo: Escribir la expresión siguiente en varias formas equivalentes aplicando alguna propiedad de los Reales: Aplicando la propiedad enmarcada, tenemos estas dos formas equivalentes de la expresión Fin del ejemplo Ir a N. Reales Ir a Menú principal

24 Propiedades de las fracciones
Ejemplo: escribir la expresión siguiente en formas equivalentes aplicando las propiedades: Ir a Menú principal

25 Propiedades de las fracciones Otro ejemplo de fracciones
Ejemplo: escribir la expresión siguiente en formas equivalentes aplicando las propiedades: Por la propiedad señalada, podemos escribir estas dos formas equivalentes: Fin del ejemplo Otro ejemplo de fracciones Ir a Menú principal

26 Propiedades de las fracciones
Ejemplo: simplificar la expresión siguiente aplicando las propiedades: Ir a Menú principal

27 Propiedades de las fracciones
Ejemplo: simplificar la expresión siguiente aplicando las propiedades: por la propiedad señalada, la expresión equivale a esta otra Ir a Menú principal

28 Propiedades de las fracciones
Ejemplo: simplificar la expresión siguiente aplicando las propiedades: y también a estas otras dos Ir a otro ejemplo Ir a Menú principal Fin del ejemplo

29 Propiedades de las fracciones
Ejemplo: simplificar la fracción aplicando las propiedades: Ir a Menú principal

30 Propiedades de las fracciones
Ejemplo: simplificar la fracción aplicando las propiedades: por la propiedad señalada, la expresión equivale a estas otras dos Ir a Menú principal

31 Propiedades de las fracciones
Ejemplo: simplificar la fracción aplicando las propiedades: por la propiedad señalada, la expresión equivale a estas otras dos y finalmente a la forma simplificada Ir a N. Reales Ir a Menú principal Fin del ejemplo

32 Valor absoluto Definición: Ir a Menú principal se lee
“valor absoluto de x” Ir a Menú principal

33 Valor absoluto Definición:
En otras palabras, el VALOR ABSOLUTO es el valor que tiene un número sin importar el signo que tenga. Ir a Menú principal

34 Valor absoluto Definición: Ejemplos: Ir a Menú principal

35 Valor absoluto Definición: Ejemplos: Ir a Menú principal

36 Valor absoluto Definición: Ejemplos: Ir a Menú principal

37 Valor absoluto Definición: Ejemplos: Más de Valor Absoluto
Ir a Menú principal

38 Evaluar expresiones que contengan valor absoluto:
Ejemplo: si evaluar la expresión Ir a Menú principal

39 Evaluar expresiones que contengan valor absoluto: ejemplo
evaluar la expresión Valor absoluto del número a Valor absoluto de la diferencia entre b y a Ir a Menú principal

40 Evaluar expresiones que contengan valor absoluto: ejemplo
evaluar la expresión Sustituyendo los valores conocidos de a y b, (cada uno con su signo) tenemos: Ir a Menú principal

41 Valor absoluto Evaluar expresiones que contengan valor absoluto: ejemplo Si evaluar la expresión Sustituyendo los valores conocidos de a y b, tenemos: expresión que equivale a: Ir a Menú principal

42 Valor absoluto Evaluar expresiones que contengan valor absoluto: ejemplo Si evaluar la expresión Sustituyendo los valores conocidos de a y b, tenemos: expresión que equivale a: Fin del ejemplo y finalmente, a: Más de Valor Absoluto Ir a Menú principal

43 Ecuaciones y desigualdades que incluyen valor absoluto
Para resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto, simplemente se aplica la definición. Por ejemplo, resolver la ecuación: Ir a Menú principal

44 Valor absoluto Ecuaciones y desigualdades que incluyen valor absoluto
Por ejemplo, resolver la ecuación: Por la definición de valor absoluto, y considerando que no sabemos si es positivo o negativo, planteamos: Ir a Menú principal

45 Valor absoluto Ecuaciones y desigualdades que incluyen valor absoluto
Por ejemplo, resolver la ecuación: Por la definición de valor absoluto, y considerando que no sabemos si es positivo o negativo, planteamos: La solución de la ecuación original, está formada por las soluciones de las dos últimas ecuaciones Fin de este tema Ir a Menú principal

46 Simplifica la expresión
Leyes de exponentes E x p o n e n t e s (ejemplo 1 de 2) Simplifica la expresión Ir a Menú principal

47 E x p o n e n t e s (ejemplo 1 de 2)
Leyes de exponentes E x p o n e n t e s (ejemplo 1 de 2) Simplifica la expresión = Aplicamos la primera Ley, extendiéndola a 3 factores Ir a Menú principal

48 Simplifica la expresión
Leyes de exponentes E x p o n e n t e s (ejemplo 1 de 2) Simplifica la expresión = = Expresamos las fracciones con un denominador común (para poder sumarlas) Ir a Menú principal

49 E x p o n e n t e s (ejemplo 2 de 2)
Leyes de exponentes E x p o n e n t e s (ejemplo 2 de 2) Simplifica la expresión = = Simplificamos el exponente para llegar al resultado Fin de este ejemplo Ir a otro ejemplo de exponentes Ir a Menú principal

50 Simplifica la expresión
Leyes de exponentes E x p o n e n t e s (ejemplo 2 de 2) Simplifica la expresión Ir a Menú principal

51 Simplifica la expresión
Leyes de exponentes E x p o n e n t e s (ejemplo 2 de 2) Simplifica la expresión Aplicando las dos leyes enmarcadas en ambos paréntesis, obtenemos la expresión Ir a Menú principal

52 E x p o n e n t e s (ejemplo 2 de 2)
Leyes de exponentes E x p o n e n t e s (ejemplo 2 de 2) Simplifica la expresión = Después, agrupando las variables iguales, y las constantes, resulta Ir a Menú principal

53 E x p o n e n t e s (ejemplo 2 de 2)
Leyes de exponentes E x p o n e n t e s (ejemplo 2 de 2) Simplifica la expresión = = Fin del tema exponentes Finalmente, se aplican estas dos leyes para simplificar la expresión Ir a Menú principal

54 Recordatorio de las leyes para R a d i c a l e s
Ir a Menú principal Ir a Menú principal

55 Recordatorio de las leyes para R a d i c a l e s
Regresar Ir a Menú principal

56 Simplificar R a d i c a l e s Ir a ejemplos de radicales
Simplificar expresiones con radicales significa una de las siguientes cosas: Que no existan dentro de la raíz exponentes mayores o iguales a su índice. Que no existan fracciones dentro de la raíz, ni raíces en un denominador. Que no existan expresiones con exponentes negativos ni fraccionarios. Ir a ejemplos de radicales Ir a Menú principal

57 R a d i c a l e s Ir a Menú principal

58 Primeramente, por la definición de exponente negativo, tenemos:
R a d i c a l e s Primeramente, por la definición de exponente negativo, tenemos: Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal

59 R a d i c a l e s Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal
Luego, para eliminar el denominador en la raíz, aplicamos la operación llamada racionalización, que consiste primero en multiplicar numerador y denominador de la fracción, por un factor que convierta al denominador en una expresión con exponente igual al índice de la raíz (en este caso 4) Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal

60 La expresión hasta este momento queda así
R a d i c a l e s La expresión hasta este momento queda así Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal

61 Luego, se aplica esta propiedad de radicales, para obtener
Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal

62 Otro ejemplo de radicales
Finalmente, esta es la expresión simplificada (sin fracciones dentro de la raíz) Fin de este ejemplo Otro ejemplo de radicales Ir a Menú principal

63 R a d i c a l e s (ejemplo 2 de 2)
Simplifica el radical Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal

64 R a d i c a l e s (ejemplo 2 de 2)
Simplifica el radical Simplificar el radical, en este caso, significa que no existan dentro de la raíz exponentes mayores o iguales a su índice (que es 3) Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal

65 R a d i c a l e s (ejemplo 2 de 2)
Simplifica el radical Para simplificar, buscaremos expresar los números dentro de la raíz, como cubos (para después poder eliminarlos con la raíz cúbica) Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal

66 R a d i c a l e s (ejemplo 2 de 2)
Simplifica el radical La expresión dentro de la raíz queda así : = Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal

67 R a d i c a l e s (ejemplo 2 de 2)
Simplifica el radical = Agrupando los factores cúbicos, tenemos: = Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal

68 R a d i c a l e s (ejemplo 2 de 2)
Simplifica el radical = Aplicamos la Ley de radicales que nos permite separarlos, como sigue : Ir a leyes de radicales Ir a Menú principal

69 R a d i c a l e s (ejemplo 2 de 2)
Simplifica el radical = Finalmente, otra Ley nos da el resultado simplificado final: Fin del tema Radicales Ir a Menú principal

70 Operaciones algebraicas
Ir a Suma de polinomios Ir a Resta de polinomios Operaciones algebraicas Ir a Producto de polinomios Ir a Polinomio entre monomio Ir a Polinomio entre polinomio Ir a Menú principal

71 Se suman los coeficientes de las potencias iguales de la variable
Suma de polinomios Se suman los coeficientes de las potencias iguales de la variable Ejemplo: sumar los polinomios Ir a Menú principal

72 Suma de polinomios Ejemplo
Se suman los coeficientes de las potencias iguales de la variable Ejemplo Primero, agrupamos los términos semejantes de la variable x

73 Suma de polinomios Ejemplo
Se suman los coeficientes de las potencias iguales de la variable Ejemplo Luego, sumamos estos términos semejantes para obtener el resultado simplificado. Fin de este ejemplo Ir a Operaciones Algebraicas Ir a Menú principal

74 Resta de polinomios (ejemplo 1 de 1)
Primero eliminamos los paréntesis, PERO hay que recordar que si el signo MENOS precede al segundo polinomio, debemos cambiar los signos de todos sus términos Ir a Menú principal

75 Resta de polinomios (ejemplo 1 de 1)
Al eliminar los paréntesis, tenemos : Ir a Menú principal

76 Resta de polinomios (ejemplo 1 de 1) Ir a Operaciones Algebraicas
Finalmente, agrupamos y sumamos los términos semejantes para obtener el resultado : Fin de este ejemplo Ir a Operaciones Algebraicas Ir a Menú principal

77 Producto de polinomios (ejemplo 1 de 1)
Ir a Menú principal

78 Producto de polinomios (ejemplo 1 de 1)
Procedimiento: La regla para efectuar esta operación, es la Ley Distributiva del producto: Cada término de uno de los factores, se multiplica por cada término del otro factor Después se suman los términos semejantes

79 Producto de polinomios (ejemplo 1 de 1)
=

80 El resultado de los 3 productos es el siguiente:
Producto de polinomios (ejemplo 1 de 1) El resultado de los 3 productos es el siguiente:

81 Ir a Operaciones Algebraicas
Producto de polinomios (ejemplo 1 de 1) Finalmente, agrupando los términos semejantes, la expresión simplificada y ordenada es: Fin de este ejemplo Ir a Operaciones Algebraicas Ir a Menú principal

82 Polinomio entre monomio ( ejemplo 1 de 1 )
Esta operación se resuelve como sigue: El monomio divide a cada término del polinomio por separado. Después se simplifican las fracciones. Ir a Menú principal

83 Polinomio entre monomio ( ejemplo 1 de 1 )
El monomio divide a cada término del polinomio por separado Ir a Menú principal

84 Polinomio entre monomio ( ejemplo 1 de 1 )
Simplificando cada fracción, el resultado final es: Fin de este ejemplo Ir a Operaciones Algebraicas Ir a Menú principal

85 Polinomio entre polinomio ( ejemplo 1 de 1 )
Ir a Menú principal

86 Polinomio entre polinomio ( ejemplo 1 de 1 )
dividendo divisor 3 notas previas Se utiliza el mismo procedimiento que en la división larga de la Aritmética Dividendo y divisor deben ser ordenados en potencias decrecientes de la variable Si no hay término en alguna potencia se deja el hueco correspondiente o se escribe con cero como coeficiente Ir a Menú principal

87 Polinomio entre polinomio ( ejemplo 1 de 1 )
aquí irá el cociente x divisor dividendo El primer término del dividendo se divide por el primero del divisor. Será el primer término del cociente. Ir a Menú principal

88 Polinomio entre polinomio ( ejemplo 1 de 1 )
primer término del cociente x divisor El primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y se pone debajo del dividendo (en el lugar que le corresponde según la potencia de la variable), para restarse de él. El resultado de la resta, más los términos del dividendo que no se restaron, será el nuevo dividendo. nuevo dividendo Ir a Menú principal

89 Polinomio entre polinomio ( ejemplo 1 de 1 )
x + 2 Se repiten los pasos anteriores hasta que el nuevo dividendo sea de grado menor al del divisor (o sea, que ya no puede dividirse más). En ese caso, el nuevo dividendo se llamará residuo 2 Ir a Menú principal

90 x Polinomio entre polinomio ( ejemplo 1 de 1 ) + 2 2
El resultado final de toda división tiene la forma: x + 2 2 Resultado = Fin de este ejemplo Ir a Operaciones Algebraicas Ir a Menú principal

91 Casos de factorización
Factores comunes Diferencia de cuadrados Suma o resta de cubos Casos de factorización Forma x2 + bx + c Polinomios de 4 términos Forma ax2 + bx + c Ir a Menú principal

92 Factorizar expresiones que tienen factores comunes
Ejemplo: factorizar la expresión Para aislar el factor común a los tres términos, tomamos cada uno de los factores presentes en todos ellos, con el número MENOR de veces en que aparezca. En este caso, los factores presentes en todos los términos son: Ir a Menú principal

93 Factorizar expresiones que tienen factores comunes
Después expresamos cada uno de los términos originales, como sigue: Ir a Menú principal

94 Factorizar expresiones que tienen factores comunes
En este caso tenemos : = Fin de este ejemplo Se puede comprobar fácilmente si la factorización fue bien hecha: al efectuar el producto se debe obtener la expresión original. Ir a Factorización Ir a Menú principal

95 Factorizar diferencias de cuadrados
a2 – b2 = ( a + b ) ( a – b ) Ejemplo: factorizar Ir a Menú principal

96 Factorizar diferencias de cuadrados
a2 – b2 = ( a + b ) ( a – b ) Ejemplo: factorizar a2 – b2 forma Ir a Menú principal

97 a2 – b2 = ( a + b ) ( a – b ) Factorizar diferencias de cuadrados
Ejemplo: factorizar Siguiendo la fórmula de factorización, el resultado es: Fin de este ejemplo Ir a Factorización Ir a Menú principal

98 Factorizar sumas y diferencias de cubos
Ejemplo: factorizar Ir a Menú principal

99 Factorizar sumas y diferencias de cubos
Ejemplo: factorizar = Primeramente, la expresión se puede interpretar como una diferencia de cuadrados Ir a Menú principal

100 Factorizar sumas y diferencias de cubos
Ejemplo: factorizar = y en ese caso, la factorización es Ir a Menú principal

101 Factorizar sumas y diferencias de cubos
Ejemplo: factorizar = Este “resultado” puede ser a su vez factorizado. Los factores son de los casos Suma de cubos Diferencia de cubos Ir a Menú principal

102 Factorizar sumas y diferencias de cubos
Ejemplo: factorizar = cuya factorización es = Ir a Menú principal

103 Factorizar sumas y diferencias de cubos
Ejemplo: factorizar = = Ir a Menú principal Fin de este ejemplo Ir a Factorización

104 Para efectuar la factorización:
Factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c Para efectuar la factorización: - Determina dos números cuya SUMA sea igual a b y cuyo PRODUCTO sea igual a la constante c - Usa los dos números determinados en el paso anterior, incluidos sus signos, para escribir el trinomio en su forma factorizada: Ir a Menú principal

105 Factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c
Ejemplo: factorizar Ir a Menú principal

106 Factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c
Ejemplo: factorizar +8 y –3 son los números que cumplen con las dos condiciones mencionadas Ir a Menú principal

107 Finalmente, la factorización es:
Factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c Ejemplo: factorizar Finalmente, la factorización es: Fin de este ejemplo Ir a Factorización Ir a Menú principal

108 Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c ( en donde a es diferente de 1 )
Ejemplo: factorizar Ir a Menú principal

109 Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c ( en donde a es diferente de 1 )
Ejemplo: factorizar En todos los casos de factorización, conviene primero revisar si hay un factor común en la expresión. Si lo hay, factorízalo. Ir a Menú principal

110 En este caso, hay un factor común a los tres términos: es 3y
Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c ( en donde a es diferente de 1 ) Ejemplo: factorizar En este caso, hay un factor común a los tres términos: es 3y Ir a Menú principal

111 Dentro del paréntesis hay un trinomio de la forma ax2 + bx + c
Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c ( en donde a es diferente de 1 ) Ejemplo: factorizar Dentro del paréntesis hay un trinomio de la forma ax2 + bx + c Para factorizar a su vez el trinomio 2y2 + y - 6, se emplea un método de tanteos, que se explica a continuación: Ir a Menú principal

112 Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c ( en donde a es diferente de 1 )
Ejemplo: factorizar 2 y y -3 +2 Se busca una pareja de factores de 2y2 , por un lado, y otra pareja para Aquí se presenta una de las posibilidades. Ir a Menú principal

113 Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c ( en donde a es diferente de 1 )
Ejemplo: factorizar Si la suma de los productos en cruz es el término central, + y , la factorización ya está casi hecha y se expresa como sigue: 2 y y -3 +2 Ir a Menú principal

114 Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c ( en donde a es diferente de 1 )
Ejemplo: factorizar 2 y y -3 +2 (Puedes comprobar fácilmente si este método funciona, multiplicando los factores, y obteniendo el trinomio 2y2 + y -6) Ir a Menú principal

115 Finalmente el resultado factorizado es:
Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c ( en donde a es diferente de 1 ) Ejemplo: factorizar Finalmente el resultado factorizado es: Fin de este ejemplo Ir a Factorización Ir a Menú principal

116 Factorizar polinomios de 4 términos por agrupación
Proceso Primero, determina si hay algún factor común a los 4 términos. Si lo hay, factorízalo. En caso contrario, ordena los términos de 2 en 2 de manera que cada uno de los 2 grupos tenga un factor común. Factoriza el factor común en cada uno de ambos grupos. Por último, factoriza el factor común (si lo hay) de la expresión del paso anterior. Ir a Menú principal

117 Factorizar polinomios de 4 términos por agrupación
Ejemplo: factorizar Ir a Menú principal

118 Factorizar polinomios de 4 términos por agrupación
Ejemplo: factorizar Dado que no hay un factor común a los 4 términos, agrupamos los términos de 2 en 2 de forma que los tengan. En este caso, hay factor común en los 2 primeros (a), y otro en los 2 últimos (b) . Factorizándolos: = Ir a Menú principal

119 (x2 – y2) Factorizar polinomios de 4 términos por agrupación
Ejemplo: factorizar = En estos 2 términos, hay a su vez un factor común (x2 – y2) Ir a Menú principal

120 Factorizar polinomios de 4 términos por agrupación = =
Ejemplo: factorizar = Factorizando el factor común (x2 – y2) tenemos : = Ir a Menú principal

121 Factorizar polinomios de 4 términos por agrupación = =
Ejemplo: factorizar = Factorizando la diferencia de cuadrados, tenemos finalmente: = Ir a Factorización Ir a Menú principal Fin de este ejemplo

122 Fracciones algebraicas
Ir a Simplificación de fracciones Ir a Producto de fracciones Fracciones algebraicas Ir a Cociente de fracciones Ir a Suma o Resta de fracciones Ir a Menú principal

123 Simplificación de fracciones algebraicas
Proceso Se factorizan completamente numerador y denominador de la fracción Se cancelan los factores comunes en el numerador y denominador Ir a Menú principal

124 Simplificación de fracciones algebraicas
Ejemplo: simplificar la fracción

125 Simplificación de fracciones algebraicas
Ejemplo: simplificar la fracción Factorizando numerador y denominador, tenemos:

126 Simplificación de fracciones algebraicas
Ejemplo: simplificar la fracción Factorizando numerador y denominador, tenemos: Cancelando los factores comunes:

127 Simplificación de fracciones algebraicas
Ejemplo: simplificar la fracción Factorizando numerador y denominador, tenemos: Cancelando los factores comunes: La fracción simplificada es: Ir a Fracciones Ir a Menú principal

128 Producto de fracciones algebraicas Proceso de la operación
Factoriza completamente el numerador y el denominador de las fracciones Cancela los factores comunes Multiplica los numeradores (será el numerador final) y los denominadores (será el denominador final) Ir a Menú principal

129 Producto de fracciones algebraicas
Efectúa el producto Ir a Menú principal

130 Factorizando los numeradores y denominadores:
Producto de fracciones algebraicas Efectúa el producto Factorizando los numeradores y denominadores: Ir a Menú principal

131 Cancelando los factores comunes:
Producto de fracciones algebraicas Cancelando los factores comunes: = Ir a Menú principal

132 Producto de fracciones algebraicas
Cancelando los factores comunes: = El producto simplificado es: Fin de este ejemplo Ir a Fracciones algebraicas Ir a Menú principal

133 Cociente de fracciones algebraicas Proceso de la operación
Invierte la segunda fracción (el divisor). De aquí en adelante procede como en un producto de fracciones, o sea: Factoriza completamente los numeradores y denominadores Cancela los factores comunes en numeradores y denominadores Multiplica los numeradores y los denominadores restantes Ir a Menú principal

134 Ejemplo 1 de 1: efectúa el cociente de fracciones
Cociente de fracciones algebraicas Ejemplo 1 de 1: efectúa el cociente de fracciones Ir a Menú principal

135 Cociente de fracciones algebraicas
Ejemplo 1 de 1: efectúa el cociente de fracciones Invierte la segunda fracción, y escribe la operación como producto: Ir a Menú principal

136 Cociente de fracciones algebraicas
Ejemplo 1 de 1: efectúa el cociente de fracciones Invierte la segunda fracción, y escribe la operación como producto: Factoriza los numeradores y denominadores: Ir a Menú principal

137 Cociente de fracciones algebraicas
Ejemplo 1 de 1: efectúa el cociente de fracciones Invierte la segunda fracción, y escribe la operación como producto: Factoriza los numeradores y denominadores: Para poder eliminar el factor y-x, se escribe como sigue: Ir a Menú principal

138 Cociente de fracciones algebraicas
Ejemplo 1 de 1: efectúa el cociente de fracciones Invierte la segunda fracción, y escribe la operación como producto: El cociente de fracciones queda así: Ir a Menú principal

139 Cociente de fracciones algebraicas
Ejemplo 1 de 1: efectúa el cociente de fracciones Invierte la segunda fracción, y escribe la operación como producto: Cancelando los factores comunes en numerador y denominador: Ir a Menú principal

140 Cociente de fracciones algebraicas
Ejemplo 1 de 1: efectúa el cociente de fracciones Invierte la segunda fracción, y escribe la operación como producto: Cancelando los factores comunes en numerador y denominador: La expresión simplificada es: Ir a Fracciones Ir a Menú principal

141 Suma y resta de fracciones algebraicas Ejemplo:
Ir a Menú principal

142 Suma y resta de fracciones algebraicas Ejemplo:
Esta resta de fracciones no puede efectuarse porque sus denominadores son diferentes. Las dos fracciones deben convertirse en otras equivalentes que tengan un denominador común. Este denominador es el mínimo común múltiplo de los denominadores originales Ir a Menú principal

143 Suma y resta de fracciones algebraicas Ejemplo:
Para hallar el mcm de los denominadores, comenzamos por factorizar cada uno de ellos: Ir a Menú principal

144 Suma y resta de fracciones algebraicas Ejemplo:
El mínimo común múltiplo mcm, está formado por los factores no-repetidos, y por los factores repetidos tomados con su máximo exponente: Ir a Menú principal

145 Suma y resta de fracciones algebraicas Ejemplo:
= mcm Para obtener el nuevo primer numerador, se divide el mcm entre el denominador de la primera fracción (factorizado), y el resultado se multiplica por el antiguo primer numerador Se hace lo mismo para obtener el nuevo segundo numerador Ir a Menú principal

146 Efectuando los dos productos indicados, resulta esta expresión
Suma y resta de fracciones algebraicas Ejemplo: = = Efectuando los dos productos indicados, resulta esta expresión Ir a Menú principal

147 Ir a Fracciones algebraicas
Suma y resta de fracciones algebraicas Ejemplo: = = Finalmente, agrupando los términos semejantes, tenemos la expresión simplificada Fin de este ejemplo Ir a Fracciones algebraicas Ir a Menú principal

148 Despeje de variables en fórmulas
Para despejar variables en las ecuaciones o fórmulas, se aplican estos tres principios: Principio de adición: podemos sumar o restar cualquier constante o cualquier expresión que incluya a la variable en ambos lados de la fórmula. Principio de multiplicación: podemos multiplicar o dividir ambos lados de la fórmula por cualquier constante distinta de cero o por cualquier expresión que incluya a la variable. Principio de potencia: podemos elevar a un exponente o sacar raíz en ambos lados de una fórmula. Ir a Menú principal

149 Despeje de variables en fórmulas
Más consejos útiles para despejar variables de ecuaciones: Elimina las fracciones que aparezcan en la fórmula (si las hay), multiplicando ambos lados por el denominador común de las fracciones involucradas. Elimina cualquier paréntesis que haya (estos dos pasos pueden intercambiarse). Puedes aislar la variable en el lado en que sea más fácil hacerlo. Después puedes invertir la expresión. La variable despejada deberá tener como coeficiente +1. Ir a Menú principal

150 Despeje de variables en fórmulas
Ejemplo 1 de 2 : Despejar a de la ecuación Ir a Menú principal

151 Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 1 de 2)
Despejar a de la ecuación Para despejar a de la fórmula, primero eliminaremos el denominador, aplicando el principio de multiplicación. Luego “quitaremos todo lo que le estorbe para que quede aislada”, aplicando según convenga los principios de adición, multiplicación y potencia. Conviene comenzar desde lo más lejano a a Ir a Menú principal

152 Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 1 de 2)
Despejar a de la ecuación Para eliminar el denominador, se multiplica toda la fórmula por 2, y resulta Ir a Menú principal

153 Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 1 de 2)
Despejar a de la ecuación = Empezaremos a “quitar todo lo que estorbe a a “ empezando por lo más lejano a ella Por el principio de adición, restando 2(v0. t) en ambos lados de la fórmula, tenemos Ir a Menú principal

154 Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 1 de 2)
Despejar a de la ecuación = Luego, por el principio de multiplicación, dividimos ambos lados de la ecuación entre t2 , resultando Ir a Menú principal

155 Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 1 de 2)
Despejar g de la ecuación = Finalmente, intercambiando el lado izquierdo con el derecho, el resultado es Fin de este ejemplo Ir a otro ejemplo Ir a Menú principal

156 Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 2 de 2)
Despejar g de la ecuación Ir a Menú principal

157 (comenzando por lo más lejano a ella), dividiendo la fórmula entre v0
Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 2 de 2) Despejar g de la ecuación Empecemos a “quitar lo que estorba a g” para que quede aislada (comenzando por lo más lejano a ella), dividiendo la fórmula entre v0 Ir a Menú principal

158 Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 2 de 2)
Despejar g de la ecuación Luego, para “deshacernos” de la raíz, elevamos al cuadrado ambos lados de la fórmula Ir a Menú principal

159 Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 2 de 2)
Despejar g de la ecuación Para que g aparezca como numerador, multiplicamos toda la fórmula por g : Ir a Menú principal

160 Dividiendo toda la fórmula entre
Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 2 de 2) Despejar g de la ecuación Dividiendo toda la fórmula entre tenemos Ir a Menú principal

161 Despeje de variables en fórmulas (ejemplo 2 de 2)
Despejar g de la ecuación Finalmente el despeje de g es Fin Ir a Menú principal