Transformada de Laplace

Propiedad de Linealidad La diferenciación o Integración transforman una función en otra. Por ejemplo: f(x) = x 2 Por Diferenciación Por Integración Por Integración Definida Función Lineal Familia de funciones polinomiales cúbicas Constante

Propiedad de Linealidad Las tres operaciones poseen la Propiedad de Linealidad, es decir que para las constantes α y β Por Diferenciación Por Integración Por Integración Definida

Contenido Introducción a la transformada de Laplace. ◦ Definición Básica. ◦ Propiedades básicas ◦ Condiciones de existencia. Transformada inversa ◦ Funciones parciales Teoremas de Traslación y derivadas de una transformada ◦ Traslación en el eje s ◦ Traslación en el eje T Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas Aplicaciones

Contenido Introducción a la transformada de Laplace. ◦ Definición Básica. ◦ Propiedades básicas ◦ Condiciones de existencia. Transformada inversa ◦ Funciones parciales Teoremas de Traslación y derivadas de una transformada ◦ Traslación en el eje s ◦ Traslación en el eje T Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas Aplicaciones

Si f(x, y) es una función de dos variables, entonces una integral definida de f con respecto a una de sus variables nos lleva a una función de la otra variable. Por ejemplo manteniendo y constante, vemos que :

Similarmente si f(t) es definida para t ≥ 0, entonces la integral impropia (1) Si el lmite de (1) existe, entonces decimos que la integral es convergente ; si el lmite no existe, entonces la integral no existe y es divergente. El lmite de (1) existira para ciertos valores de s.

La función K ( s, t ) en (1) es llamada el Kernel de la transformación. La elección K ( s, t ) = e -st como Kernel nos proporciona una transformada integral importante Definición (Transformada de Laplace) Sea f una función definida para t ≥ 0 entonces la integral se le llama la transformación (o transformada) de Laplace de f, siempre y cuando la integral sea convergente.

En general usaremos una letra minúscula para denotar la función a la que se aplica la transformada y usaremos una letra mayúscula para denotar su función transformada. Por ejemplo

Ejemplo Evaluar la siguientes transformadas Siempre que s > 0. Pues si s > 0, -sb es negativo y e -sb  0 cuando b . La integral diverge si s < 0. Equivalentemente podemos usar la notacion

Evaluar: Seno (0) = 0 e tiende al infinito negativo = 0 Evaluar: coseno (0) = 1 e tiende al infinito negativo = 0

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Propiedad de Linealidad Laplace

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Condiciones de existencia

Condiciones de suficiencia

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EL PROBLEMA INVERSO

Ejemplo. (Hallar las siguientes transformadas inversas)

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Necesitamos un voluntario

Para S = 1 Cuanto debe valer para hacer denomidador cero

Para S = 2 Para S = -4

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En la descripción siguiente presentaremos varios teoremas que ahorran trabajo, sin necesidad de recurrir a la definición de la transformada de Laplace.

Primer teorema de traslación

Forma Inversa del primer teorema de traslación

Función de escalón Unitario En ingenieria se presentan con mucha frecuencia funciones que pueden estar “encendidas” o “apagadas”. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecanico o un voltaje aplicado a un circuito se pueden apartar despues de cierto tiempo. Por ello, conviene definir una funcion especial, llamada funcion escalon unitario o HEAVISIDE.

Segundo teorema de traslación

Forma Inversa del segundo teorema de traslación

Derivadas de transformadas Si y n = 1,2,3….. Ejemplo: Evalue n=1 f(t)=e 3t

Evaluar : n=2 f(t)=sen(t) L{sen (at)}=__a__ /s 2 +a 2 Primera Derivada 1/a = a -1 u= s 2 +1 f=u -1 df(u) = df * du dx du dx f’(g+h)= f’(g) +f’(h)

Segunda Derivada 1/a = a -1 u= s 2 +1 f=u -1 df(u) = df * du dx du dx f’(g+h)= f’(g) +f’(h)

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Transformadas de derivadas

Teorema de la Convolución Si f(t) y g(t) son continuas por tramos en [0,∞) y de orden exponencial, L {f *g} = L{f(t)} * L{g(t)} = F(s)G(s)

Ejemplo: Evalué Si f(t)= e τ y g(t)= sen t, el teorema de la convolución establece que la transformada de Laplace de la convolución de f y g es el producto de sus transformadas

Forma inversa del teorema de Convolución La transformada inversa de Laplace es un producto de dos trasformadas de Laplace L -1 {F(s)G(s)} = f * g

Transformada de una integral Cuando g(t) = 1 y L{g(t)} = G(s) = 1/s, el teorema de la convolución implica que la transformada de Laplace de la integral de f es La forma inversa de esta ecuacion,

Se puede usar en algunas ocasiones en lugar de las fracciones parciales cuando s n es un factor del denominador y f(t) = L -1 {F(s)} sea fácil de integrar; por ejemplo, sabemos que cuando f(t) = sen t, entonces F(s) = 1/(s 2 + 1), así que, según la transformada de una integral inversa

Transformada de una función periódica

Problemas de valor inicial Como L{ y(“)(t)}, n > 1, depende de y(t) y de sus n - 1 derivadas, evaluadas en t = 0, la transformada de Laplace es lo ideal en problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Este tipo de ecuación diferencial se puede reducir a una ecuación algebraica en la función transformada, Y(s). Para comprenderlo, veamos el problema de valor inicial y(0)= y 0, y’(0)= y 1, …. y (n-1) (0) = y n-1 En donde a n, n=0,1…., y y 0,y 1,….y n-1 son contantes. De acuerdo con la propiedad de de la transformada de Laplace podemos escribir

O Sea En donde Y(s) =L{y(t)} y G(s) =L{g(t)}. Despejamos Y(s) y llegamos a y(t) determinando la transformada inversa y(t)= L -1 {Y(s)} Según el terorema de una derivada

Ecuación Ecuación transformada Resolver la ecuación transformada Solución de la ecuación original

Ejemplo: Desarrollamos

Despejamos Y(s) y descomponemos en fracciones parciales Asi que