Kalkulatu hurrengo puntuetatik pasatzen den interpolazio- polinomioaren zero bat: Interpolazio-polinomioa honelakoa izango da:

Cramer-en araua erabiliz:

2. lerroa batzen diogu 1. zutabea bider 2 batzen diogu

2. zutabea batzen diegu 1. zutabea bider 2 batzen diogu

2. lerroa batzen diogu 1. zutabea bider 2 batzen diogu

2. zutabea batzen diegu Beraz: Eta interpolazio-polinomioa da:

Berriro ere aztertzen baditugu interpolazio-puntuak: Ikusten da y(x)-ek zeinu-aldaketa jasaten duela, hau da zero bat duela, x1 = 0 eta x2 = 1 puntuen artean. Hortaz abiapuntu egokia Newton-en metodorako x = 0.5 litzateke: Hurrengo f(x) hartzen badugu: f(x)-en zeroak dira y(x)-en berberak:

Demagun inplizitoki definituta dagoen hurrengo y(x) funtzioa: Kalkulatu y(0.9). x = 1 baldin bada, orduan y = 1; hortaz puntu hori egokia izango litzateke Newton-en metodoaz aritzeko hurrengo funtzioarekin:

Legendre-ren 4. ordenako polinomia ezagututa: Kalkulatu Gauss-Legendre-ren koadraturaren bidez (taularik gabe) 4 puntu-rekin (n=3) hurrengo integrala: Polinomioaren zeroak kalkulatu behar ditugu. Newton-metodoa Erabiliz hurrengo f(x)-rekin: Jo dezagun abiapuntutzat:

Beraz, polinomioaren bi erro hauexek dira: ± 0.33981 Beste bi zeroak aurkitzeko aukera dezagun abiapuntu berria: x0 = 1:

Hortaz, polinomioaren beste bi erroak dira: ± 0.861136 Onodorengoan kalkulatu beharko genituzke erro horiei dagozkien pisu-faktoreak, wi:

Gauss-Legendre-ren koadratura erabiliz n = 3 (4 punturekin): ERRADIANETAN!!! Dena den, emaitza hau ez da batere ona, hurrengo ariketan egiazta daitekenez.

Kalkulatu Gauss-Legendre-ren koadraturaren bide 6 puntu-rekin (n=5) hurrengo integrala. Kalkulatu Simpson-en bidez ere h = 1/8 hartuta : Gauss-Legendre: ERRADIANETAN!!!

Simpson: h = 1/8 (17 puntu): ERRADIANETAN!!!

Kalkulatu lehenengo hiru polinomio orogonalak, funtzioen ohiko biderkaketa eskalarrarekiko (0,1) tartean. Funtzioen ohiko biderkaketa eskalarra hurrengo eran definitzen da: Aukera dezagun:

Hurrengo hauek bete behar dira: , hortaz:

Hurrengo hauek bete behar dira:

Hurrengo beste erara ere egin genezakeen ariketa hau: Legendre-ren lehenengo hiru polinomioak ezagutuz: Guk jakin badakigu polinomio hauek ortogonalak direla (-1,1) tartean. Ondorioz aldagai-aldaketa bat egingo bagenu (-1,1) tartetik (0,1) tartera pasatzeko, lortuko genituzke hiru polinomio berriak (0,1) tartean ortogonalak izango zirenak. Legozkien polinomio ortonormalak eskuratzeko, normalizatuko genituzke eta kitto. x  (-1,1) aldagaiatik y  (0,1) aldagaiarako aldaketa hau da:

Behin (0,1) tartean hiru polinomio ortogonal hauek, p0(y), p1(y) eta p2(y), kalkulatu ditugun, dagozkien polinomio ortonormalak lortzeko zatiko ditugu heuren normen balioez:

Eta egiaztatzen dugunez, eskuratzen dugu lehengo prozeduraz Lortutako emaitza berbera:

Konboluzio-teoremaren bidez kalkulatu hurrengo funtzioaren Fourier-en antitransformatua (alderantzizko transformatua): Antitransformatua honela definitzen da:

eta deitzen badugu: Fourier-en antitransformatua hau da geratzen zaiguna: Konboluzio-teorema

Eta g(t) bere buruarekiko konboluzio-integrala: non

Beraz:

Gaixo bati sendagai baten A dosia ematen zaio. Sendagaiaren kontzentrazioa odolean t ordu geroago hurrengo formularen bidez kalkula daiteke: a) Zenbatekoa izan behar da hasierako dosia gehienezko kontzentrazio 1 mg/ml izateko? Noiz agertzen da konzentrazio maximo hori? b) Kontzentrazio maximo hori pasa eta gero bigarren dosia eman behar zaio kontzentrazioa 0.25 mg/ml baliora jaisten denean. Kalkulatu minutu baten zehaztasunarekin zenbat denbora igarotzen duen bi dosien artean. c) Bigarren dosia lehenengoa baino %75 txikiagoa dela suposatuz, noiz eman beharko genioke hirugarren dosia?

a) Beraz, 3 ordu pasa eta gero lortzen da kontzentazio maximoa eta bere Balioa hurrengo hau da: Balio hori 1 izateko:

b) Hurrengoan kalkulatu nahi dugu noiz den 0.25 c(t)-ren balioa, hau da, zein den f(t) = c(t)-0.25 funtzioaren zero bat: Newton: t0 = 4 puntutik abiatuz:

c)

Kalkulatu hurrengo funtzioaren Fourier-en transformatua: f(t) funtzioa honela ere adieraz daiteke:

Hortaz:

Zorizko aldagai jarrai batek, x-k, betetzen du hurrengo eran adierazten den diztribuzio normala (edo gaussiarra): s = 5 eta x0 = 25 badira, kalkulatu zenbatekoa den 20 edo txikiagoa den emaitza lortzeko probabilitatea: Ematen dizkigun balioak ordezkatuz: 20 edo txikiagoa den emaitza lortzeko probabilitatea hauxe da:

Gauss-Legendre-ren koadraturaren bidez integratu nahi badugu aldagai- aldaketa egin beharko dugu (0,20) tartetik (-1,1) tartera: (y ≤ 1)

Kalkulatu g(x)=|x| funtzioaren Fourier-en seriea (-1,1) tartean definitutako {exp(inpx)/√2p} oinarri ortogonalean.

l ≠ 0

Sinu eta Cosinuen oinarrira jo nahi badugu:

Kalkulatu 25-en erro kubikoa (erreala) hiru hamartarren zehaztasunarekin

Kalkulatu (-p,p) tartean definitutako g(x)= exp[(2+i)x] funtzioaren Fourier-en seriaren zati erreala.

Kalkulatu Runge-Kutta -en metodoaren bidez hurrengo ekuazio diferentzialaren soluzio hurbilduak ondoko x = 1.2 eta x = 1.4 puntuetan h=0.1 erabiliz: : Soluzio analitikoa y = exp(x2-1), dela kontutan hartuz, kalkulatu egindako errore absolutuak eta erlatiboak. h = 0.1:

Bedi hurrengo funtzioa, f(x): Kalkulatu funtzio honen Fourier-en seriea (0, 2) tartean, bai exponentzial konplexuen bidez, bai cosinu eta sinuen bidez. b) Irudikatu seriari dagokion funtzioa (-2, 6) tartean.

l ≠ 0

j bakoitia j≠0 j bakoitia j bakoitia

Kalkulatu Simpson-en eta Trapezioen prozeduren bidez (7 punturekin bai batan bai bestean) eta Gauss-Legendre-ren koadraturaren bidez 4 punturekin (n=3) (taularen puntuekin) hurrengo integralaren balorea: h = 1/2 hartuta (7 puntu): Trapezioen bidez:

Simpson-en bidez:

Gauss-Legendre-ren koadraturarekin n=3 hartuta (4 puntu):

Euler onduaren metodoaren bidez kalkulatu hurrengo lehen ordenako ekuazio diferentzialen sistemaren soluzio hurbilduak 0.1 tartea erabiliz t<1 denean:

Herri batetan 1000 biztanle bizi dira Herri batetan 1000 biztanle bizi dira. Bati birus kutsakor bat erantsi zaio. Hurrengo egunean hiru badira kutsatuak astebete bat igaro ondoren, zenbatekoa izango da gaixoen kopurua? h = 1/7:

Ondorioz, astebete bat pasa eta gero, denak daude gaixorik.

Kalkulatu hurrengo sistemaren zero bat, x = 2, y =3 eta z=8 inguruan: Aurrekoa enuntziatuaren baliokidea hurrengo hau da: Kalkulatu hurrengo sistemaren zero bat, x = 2 eta y =3 inguruan:

Kalkulatu hurrengo sistemaren zero bat, x = 2 eta y =3 inguruan: ERRADIANETAN!!!

Bi substantzia, A eta B, konbinatzen direnean C konposatu bat osatzen da. Erreakzioan, A substantziaren gramo bakoitzako B-ren 4 gramo behar dira. Minutu bat pasa eta gero C-ren 6 gramo sortu dira.Erreakzioaren abiadura A eta B-ren geratzen direnen kantitateekiko proportzionala bada eta hasieran A-ren 50 gramo eta B-ren 32 gramo baldin baziren, zenbatekoa izango da C-ren kantitatea erreakzioa abiatu eta 10 minutura? t minutuetan sortzen diren C konposatuaren gramuen kopuruari C(t) deitzen badiogu eta, denbora berean, deskonposatzen diren A eta B-ren kantitateei A(t) eta B(t), deituz hurrenez hurren, orduan:

Ondorioz: edo gauza bera dena: eta ebatzi behar dugun lehen ordenako ekuazio diferentziala hau da : non, k, kalkulatu behar dugun konstantea baita.

Euler-en metodo xinplea erabiltzen badu soluzio numeriko hurbilduak lortzeko: h = 1: eta behin k konstanta kalkulatu dugun, iterazio gehiago egin ditzakegu beste soluzioak lortzeko beste denboretarako:

Zenbaki lehenen teoremaren arabera a< x < b tartean dauden zenbaki lehenen kopurua da gutxi gorabehera: Alderatu hurbilketa honen bidez lortutako 100 eta 200-en artean dauden zenbaki lehenen kopurua, benetako balioarekin. Gauss-Legendre-ren koadraturarekin eta n=3 hartuta (4 puntu):

Hala ere, 100 baino handiagoak eta 200 baino txikiagoak diren zenbaki lehenen benetako kopurua da 21.

Erabili Runge-Kutta-ren metodoa hurrengo probleman p-ren balio hurbildua lortzeko h=0.5 hartuta eta kalkulatu egindako errore absolutua eta erlatiboa: Ekuazio diferentzial hau zehatz-mehatz integra daiteke:

Hortaz p-ren balio numeriko hurbildua lortzeko kalkulatu beharko dugu y(x) x=1 denean: h = 0.5:

Kalkulatu Simpson-en eta Trapezioen prozeduren bidez (9 punturekin bai batan bai bestean) eta Gauss-Legendre-ren koadraturaren bidez 4 punturekin (n=3, taularen puntuekin) hurrengo integralaren balorea: h = 1/4 hartuta (9 puntu): Trapezioen bidez:

Simpson-en bidez:

Gauss-Legendre-ren koadraturaz n=3 hartuta (4 puntu):

Kalkulatu hurrengo funtzioaren Fourier-en transformatua

Hurrengo funtzioaren Fourier-en transformatua kalkulatu behar dugu:

Kalkulatu hurrengo funtzioen arteko konboluzio-biderkaketaren Fourier-en transformatua:

f(t) eta g(t) funtzioen arteko konboluzio-biderkaketa hauxe da: hau da, f(t) eta g(t) funtzioen arteko konboluzio-biderkaketa zera da: (a+b)/2 eta -(a+b)/2 puntuetan zentratuak dauden eta a-b zabalera duten bi taupada-funtzio zeintzuen grafikoa hurrengoa baita:

eta honen Fourier-en transformatua aurreko ariketan kalkulatu genuen:

Beste aukera bat f(t) eta g(t) funtzioen arteko konboluzio-biderkaketaren Fourier-en transformatua kalkulatzeko da konboluzio-teorema. Teorema honen arabera, f(t) eta g(t) funtzioen arteko konboluzio-biderkaketaren Fourier-en transformatua zera da: f(t) eta g(t) funtzioen hurrenez hurrenezko Fourier-en transformatuen arteko biderkaketa arrunta:

g(t)-ren Fourier-en transformatua kalkulatzen dugu:

Bat datorrena aldez aurretik kalkulatuta geneukanarekin.

Hurrengo taularen bidez, kalkulatu x0-ren bigarren deribatuaren hurbilketa numerikoa x1, x2 eta x3 puntuen balioak erabiliz: Hori egin eta gero, kalkulatu gauza bera, hau da, x0-ren bigarren deribatuaren hurbilketa numerikoa; baina, oraingoan taularen lau puntuetatik pasatzen den interpolazio-polinomiaren bidez. Argudiatu bi emaitzen arteko alderaketa.

Lehenik eskatzen digute kalkulatzeko distantziakide puntuen taula batetik hartutako xn puntu baten bigarren deribatuaren hurbilketa bat xn+1, xn+2 eta xn+3 puntuen balioen laguntzaz: Hortaz, gure helburua izango da kalkulatzea a, b eta c koefizienteak:

a, b eta c koefiziente horiek honelakoak izango dira:

Beraz:

Jarraian, hurrungo puntueatik pasatzen den interpolazio-polinomioa kalkulatu dugu: Lau puntu izanik interpolazio-polinomioaren maila, gehienera jota hiru izango da: non ai koefizienteek hurrengo ekuazioak betetzen baitituzte:

Beraz, interpolazio-polinomioa hauxe da: Ondorioz, bigarren deribatua x0 puntuan (edozein puntutan, izan ere) da: hau da: lehen lortu genuen emaitza bera. Horren zioa hurrengoan oinarritzen da

Erabili Taylor-en seriearen algoritmoa hurrengo ekuazio diferentzialaren soluzio hurbildua kalkulatzeko:

Beraz, dagozkion ordezkaketak eginez: eta soluzio urbildua honela geratzen da:

Ebatzi hurrengo ekuazioa: Aurrekoaren baliokidea da hurrengo f(x) funtzioaren zeroa kalkulatzea:

Erabili Picard-en metodoa hurrengo problemarekin:

Kalkulatu hurrengo funtzioaren Fourier-en seriea (-p, p) tartean: Ondorengo seriearen al eta bl koefizienteak kalkulatu behar ditugu: tartea (- p, p) denez:

n ≠ 0 n ≠ 1

n ≠ 1, 0

n ≠ 1

Egiaztatu p zenbakia hurrengo erara kalkula daitekela: Laguntza: Erabili Heaviside-ren funtziorako kalkulatu genuen Fourier-en seriea:

h(x) bektorearen normaren karratua kalkulatzen badugu, hau da, funtzio horren eta bere buruaren arteko biderkaketa eskalarra: Baina gauza berbera hurrengo beste erara ere kalkula genezake:

Baina lehen kalkulatu genuenez:

Erabili Runge-Kutta-ren metodoa q(0.1) eta q(0.1) balioei hurbiltzeko ondoko bigarren ordeno ekuazio diferentzialean: Honako hastapen-baldintza hauekin: Aurrekoaren baliokidea da hurrengo lehen ordenako ekuazio diferentzialen sistema:

h = 0.1 ERRADIANETAN!!!