Matemática II Facultad de Ciencias Agrarias Ingeniería Agronómica Universidad Nacional del Litoral

Noción intuitiva de Límite de funciones

Sea la función f : R  R / f(x) = –x2 + 2x +3 Su gráfica es: ? ¿Cómo se comportan los valores de f(x) en las proximidades de x = 2?

Si x tiende a 2 por la izquierda f(x) x f(x) 1,5 3,75 1,75 3,4375 2– 1,9 3,19 3+ 1,99 3,0199 ….. ….. 2 3

Si x tiende a 2 por la derecha f(x) x f(x) 1,5 3,75 1,75 3,4375 1,9 3,19 2– 3+ 1,99 3,0199 ….. ….. 2 3 ….. ….. 2,9799 2,01 2+ 3- 2,1 2,79 2,25 2,4375 2,5 1,75 x f(x)

Puede observarse que: Si x se aproxima a 2 por valores menores que él, los valores de la función se aproximan a 3. De la misma manera, si x se aproxima a 2 por valores mayores que él, los valores de la función se aproximan a 3.

También puede decirse que: Los valores de la función están próximos a 3 para valores de x suficientemente cercanos a 2.

También puede expresarse: El límite de la función f(x) = (–x2 + 2x +3) es 3 cuando x tiende a 2. En símbolos: lím (–x2 + 2x +3) = 3 x 2

Dominio: D = {x / x  R  x  1} Sea la función f(x) = 2x2 – 2 x – 1 Dominio: D = {x / x  R  x  1} ¿ Cómo se comportan los valores de f(x) en las proximidades de x = 1?

La expresión analítica de f(x) = 2x2 – 2 x – 1 es equivalente con la expresión f(x) = 2(x + 1) para todo valor de x distinto de 1. Por lo tanto la gráfica de f(x) = es 2x2 – 2 x – 1 la recta y = excluido el punto (1, 4) 2x + 2 pues la función no está definida en x = 1.

¿A qué valor se acerca f(x) a medida que x se aproxima a 1?

Si x tiende a 1 por valores menores: Si x se aproxima a 1 por la izquierda, los valores de la función se aproximan a 4.

Si x tiende a 1 por valores mayores: Si x se aproxima a 1 por la derecha, los valores de la función se aproximan a 4.

Cuando x se acerca a 1 por derecha o por izquierda, los valores de la función se aproximan a 4. El límite de la función, cuando x tiende a 1, es 4. En símbolos: lím 2x2 – 2 x – 1 = 4 x 1

lím 2x2 – 2 x – 1 lím (–x2 + 2x +3) = 3 = 4 x 2 x 1 La existencia del límite de una función en un punto es independiente de lo que ocurre con la función en dicho punto.

lím f(x) x a = L lím f(x) x a = L Existe f(a) lím f(x) x a  f(a) No existe f(a); a  Df Independientemente del comportamiento de la función en el punto, el límite de la función f(x) cuando x tiende a “a” es el número L. lím f(x) x a = L Existe f(a) lím f(x) x a = f(a)