CRIPTOGRAFÍA MEDIANTE MATRICES INVERTIBLES Andrés Rico Medina Helena Ocaña Biedma 2ºA-BACH.

Introducción Criptografía: Se ocupa del diseño de algoritmos para la transmisión segura de mensajes. Tiene su origen en la década de 1940 en el marco de la Segunda Guerra Mundial

Matriz Inversa Es la traspuesta de la matriz adjunta, dividida entre el determinante de la matriz.

Procedimiento: A) Calcular el determinante de la matriz.

Matriz de cofactores = Matriz adjunta B) Calcular los adjuntos de sus elementos ordenados como están escritos en la matriz inversa. Matriz de cofactores = Matriz adjunta

C) Se escribe la traspuesta de la matriz adjunta, dividiendo cada elemento por el determinante de la matriz. No todas las matrices admiten una matriz inversa, por ejemplo, aquellas cuyo determinante es 0 no lo admiten.

La matriz invertible verifica que:

Ejemplo de encriptación mediante matrices invertibles Elegimos un código, asignando un número a cada letra, por ejemplo, a cada letra el inverso de su posición en el alfabeto: Queremos enviar este mensaje: Así que: DIME LA TAREA DE MATEMÁTICAS 24 19 15 23 16 27 7 27 9 23 27 24 23 15 27 7 23 15 27 7 19 25 27 8

Vamos a codificarlo usando una matriz de 2x2, por ello debemos dividir el mensaje en grupos de 2 letras, así: Ahora elegimos una matriz invertible para codificar y multiplicamos: Matriz de codificación = A = Por lo tanto: Y el código resultante es: 67 43 53 38 …

Ahora, el receptor, QUE CONOCE EL CÓDIGO EMPLEADO, utiliza la matriz inversa para descodificar. Recibe: , y utiliza la inversa. Obtiene como resultado: Y traducido resulta: 67 43 53 38 24 19 15 23… DIME…

Podemos usar una matriz más compleja para hacer más seguro el código, por ejemplo, 3x3: Debemos unir las letras del mensaje de tres en tres, en una matriz de 3 filas y 1 columna. Usar una matriz inversa de 3x3.

Se puede aumentar la seguridad el mensaje añadiendo fases a la codificación, es decir, utilizando más de una matriz inversa:

Así obtenemos de nuevo el mensaje original. El resultado es: Así obtenemos de nuevo el mensaje original. Este proceso se puede repetir cuantas veces se quiera, aunque: Aumentar fases del proceso Aumentar posibilidad de error EQUIVOCAMOS EL CÓDIGO

Añadir 2 números (o los que se quieran) al mensaje, por ejemplo: Nº palabras: Nº de veces que aparece la letra E: Para ello, ampliamos la tabla: El receptor tiene que conocer: La nueva tabla Matriz de codificación Significado de dígitos de control Aumentar probabilidad mensaje correcto DÍGITOS DE CONTROL 5 4

Codificación final del mensaje en su primera fase: Los siguientes pasos son iguales 24 19 15 23 16 27 7 27 9 23 27 24 23 15 27 7 23 15 27 7 19 25 27 8 33 32