Potencias de i i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3 = Las potencias de la forma in , con n ϵ IN0 , se definen en igual forma que las potencias de números reales. Las propiedades son las mismas. Sabiendo que: i0 = 1 i1 = i i2 = -1 …podemos determinar las potencias restantes: i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3 = i2 • i = -1 • i = -i

in = i4 = i5 = i6 = i7 = i2 • i2 = (-1) • (-1) = 1 i4 • i = 1 • i = i = (-1) • (-1) = 1 i4 • i = 1 • i = i i4 • i2 = 1 • (-1) = -1 i6 • i = -1 • i = - i Actividad: Resuelva estas potencias Como se ve, los valores de las potencias se repiten en forma ordenada. 1 i -1 -i in = , dependiendo del valor de n Es decir:

El siguiente esquema permite observar qué potencias tienen el mismo valor: i0 = i4 = i8 = i12 = i16 = i20 =………= 1 i1 = i5 = i9 = i13 = i17 = i21 =………= i i2 = i6 = i10 = i14 = i18 = i22 =………= -1 i3 = i7 = i11 = i15 = i19 = i23 =………= -i Como puedes observar los exponentes de las potencias de i de una misma fila, varían aumentando de 4 en 4 unidades

…Ahora bien, ¿cómo saber, entonces, a qué fila corresponde …Ahora bien, ¿cómo saber, entonces, a qué fila corresponde?, por ejemplo, ¿82? i82 = ? Para conocer la respuesta, efectuaremos la división 82 : 4 ‘ ‘ 82 : 4 = 2 el cuociente es 20 2 el resto es 2 Entonces, i82 = i4•20 + 2 = i2 = -1 i82 = -1 Explicación adicional de tu maestro

i35 = i4•8 + 3 = i3 = -i i35 = -i i121 = i4•30 + 1 = i1 = i i121 = i ‘ Calcular i35 Veamos otros ejemplos: ‘ 35 : 4 = 8 el cuociente es 8 3 el resto es 3 i35 = i4•8 + 3 = i3 = -i i35 = -i Entonces, Calcular i121 ‘ ‘ 121 : 4 = 3 el cuociente es 30 1 el resto es 1 i121 = i4•30 + 1 = i1 = i i121 = i Entonces,

in = i 4•c + r = ir in = i 4•c + r = ir = i, si r = 1 -1, si r = 2 …de los ejemplos anteriores, es evidente que, al dividir el exponente por 4, los restos posibles son 0, 1, 2 y 3. De ello depende el valor de in Es decir; in = i 4•c + r = ir c = cuociente r = resto Más detalladamente, se puede decir: 1, si r = 0 i, si r = 1 -1, si r = 2 -i, si r = 3 in = i 4•c + r = ir =

Actividad. Calcular las siguientes potencias de i: Respuestas i152 = i125 = i86 = i55 = 1 i -1 -i