Triángulos Universidad de Ciencias Aplicadas Introducción a la Matemática Universitaria

TRIÁNGULOS, ELEMENTOS, CLASIFICACIÓN, PROPIEDADES Y ÁREAS Definición: Dados tres puntos no colineales A, B y C, formamos los segmentos AB, BC y AC. La unión de estos segmentos da origen a un triángulo ABC y lo denotaremos ABC. La región del plano limitada por el triángulo se define como el interior de un triángulo o región triangular. En la figura siguiente se ha sombreado la región triangular. A B C Elementos del triángulo: Vértices: A, B, y C Lados: segmentos AB, BC y AC Ángulos interiores:  BAC,  ABC y  ACB Ángulos exteriores: ; y

2. CLASIFICACIÓN Los triángulos se clasifican de acuerdo a los dos criterios siguientes: 2.1.Según la medida de sus lados: -Escaleno: Si tiene sus tres lados con diferente longitud. -Isósceles: Si tiene dos de sus lados con igual longitud. -Equilátero: Si tiene sus tres lados con igual longitud. Escaleno Isósceles Equilátero

2.2. Según la medida de sus ángulos - Acutángulo: Si sus tres ángulos internos son agudos. -Rectángulo: Si tiene un ángulo recto. -Obtusángulo: Si uno de sus ángulos internos es obtuso. Acutángulo Rectángulo Obtusángulo

3.- TEOREMAS BÁSICOS DE UN TRIÁNGULO Teorema: En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos internos es 180 o.  +  +  = 180º    Notación importante: Se acostumbra nombrar la longitud de los lados de un triángulo ABC de la siguiente manera: AB = c, AC = b y BC = a. Teorema (Desigualdad triangular) Para todo triángulo, un lado cualquiera mide menos que la suma de los otros dos. Ejemplo: En el caso de un triángulo ABC como en la figura, se tiene: c < a + b b < a + c a < b + c A B C a b c

Observación "Un lado cualquiera de un triángulo mide menos que la suma, pero más que la diferencia positiva de las medidas de los otros dos lados ". Con la notación y la figura anteriores se puede escribir tres desigualdades como esta: a < c < b c - a < b < a + c A B C a b c Teorema: En todo triángulo, al lado de mayor longitud se opone el mayor ángulo y recíprocamente, al mayor ángulo se opone el lado de mayor longitud. Es decir : si y solo si AC > BC B A C   

A C B H K J AREA DE UNA REGÍÓN TRIANGULAR El área de una región triangular es igual al semiproducto de la longitud de su base por la longitud de la altura relativa a ella. Se denomina altura al segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. Por ejemplo: Usando la notación para las longitudes de los lados en nuestro ejemplo el área de la región triangular está dado por: