POLINOMIS

Recordem primer com es diu cada element d’un polinomi… 1 Cadascun dels termes que integra el polinomi (separats per sumes i restes) s’anomena… MONOMI En cada monomi, els nombres s’anomenen… COEFICIENTS Les lletres de cada monomi formen el que s’anomena… PART LITERAL El terme que no té part literal s’anomena… TERME INDEPENDENT La suma dels exponents de totes les lletres que formen la part literal s’anomena…. GRAU DEL MONOMI Aquest polinomi està composat per 4 monomis! El grau del monomi de major grau s’anomena… GRAU DEL POLINOMI

Considerant els polinomis: p(x) = 3x4 - 2x2 + 3x - 2 q(x) = - x3 + x2 +2x Calcula p(x)+3q(x) Escrivim el polinomi p(x)… i seguit, 3 vegades el polinomi q(x): 3x4 3x4 – 2x2 + 3x - 2 – 2x2 + 3x - 2 + 3· (- x3 +x2 + 2x) - 3x3 + 3x2 + 6x - 3x3 + 3x2 + 6x Finalment, ordenam el polinomi resultant en ordre decreixent segons el grau. Si tenim monomis del mateix grau els sumam… 3x4 - 3x3 + x2 + 9x – 2 Ja està!!!

Considerant els polinomis: p(x) = 3x4 - 2x2 + 3x - 2 q(x) = - x3 + x2 +2x r(x) = 2x2 – 3x Calcula p(x) – q(x) – 2r(x) Escrivim el polinomi p(x)… seguit, el polinomi q(x) canviat de signe… i finalment, r(x) multiplicat per -2: 3x4 3x4 – 2x2 + 3x - 2 – 2x2 + 3x - 2 + x3 - x2 - 2x + x3 - x2 - 2x - 4x2 - 4x2 + 6x + 6x Finalment, ordenam el polinomi resultant en ordre decreixent segons el grau. Si tenim monomis del mateix grau els sumam… 3x4 + x3 - 7x2 + 7x – 2 Ja està!!!

Considerant els polinomis: p(x) = 3x4 - 2x2 + 3x - 2 q(x) = - x3 + x2 +2x r(x) = 2x2 – 3x Calcula 3p(x) – 2q(x) – r(x) Solució: 9x4 + 2x3 – 10x2 + 8x - 6

Considerant els polinomis: q(x) = - x3 + x2 +2x s(x) = x2 + 2 Calcula q(x)·s(x) Anotem el producte amb cada polinomi entre parèntesi: I anem efectuant els productes… ( - x3 + x2 + 2x) · (x2 + 2) - x5 – 2x3 + x4 + 2x2 + 2x3 + 4x Finalment, ordenam el polinomi resultant, sumant monomis del mateix grau: - x5 + x4 + 2x2 + 4x

Considerant els polinomis: q(x) = - x3 + x2 +2x r(x) = 2x2 – 3x Calcula q(x)·r(x) Solució: - 2x5 + 5x4 + x3 – 6x2

Considerant el polinomi: p(x) = 3x4 - 2x2 + 3x - 2 Calcula el valor numèric del polinomi p(x) al punt x = 2 Simplement, hem de substituir la x per 2 al polinomi… p ( 2 ) = 3·24 – 2·22 + 3·2 - 2 I fer els càlculs que s’indiquen, començant per les potències, després productes i, finalment, sumes i restes: = 3 · 16 – 2 · 4 + 3 ·2 – 2 = = 48 – 8 + 6 – 2 = = 44

Considerant el polinomi: s(x) = x2 + 2 Calcula s(x)2 Utilitzant la fórmula (a + b)2 = a2 + 2·a·b + b2, amb a = x2 i b = 2 quedarà…: x4 + 2·x2·2 + 4x2 + 4

Considerant el polinomi: r(x) = 2x2 – 3x Calcula r(x)2 Utilitzant la fórmula (a - b)2 = a2 - 2·a·b + b2, amb a = 2x2 i b = 3x quedarà…: 4x4 - 2·2x2·3x - 12x3 + 9x2

x4 - 9x2 Utilitzant la fórmula (a + b)·(a – b) = a2 - b2, Calcula (x2 – 3x) · (x2 + 3x) Utilitzant la fórmula (a + b)·(a – b) = a2 - b2, amb a = x2 i b = 3x quedarà…: x4 - 9x2

Calcula: (2x3 – 5x)2 (x4 + 2x2)2 (2x3 + 5x) · (2x3 – 5x) Solució: 4x6 – 20x4 + 25x2 x8 + 4x6 + 4x4 4x6 - 25x2

Al tema d’equacions hem recordat com es sumaven, restaven i multiplicaven polinomis. Vejam ara com es divideixen… Efectuem la divisió: Deixam un espai pel terme de grau 3! Col·locam els polinomis per poder dividir: Per començar a dividir, dividim els monomis de major grau: 3 x2 I dividim la part literal (restam exponents)… Dividim els coeficients…

Al tema d’equacions hem recordat com es sumaven, restaven i multiplicaven polinomis. Vejam ara com es divideixen… Efectuem la divisió: Multiplicam! Multiplicam! Multiplicam! Canviant el signe! Ara, multiplicam 3x2 per cadascun dels termes del polinomi 2x2 – 4x + 5. Al resultat, el col·locam canviat de signe!, davall del dividend i del monomi del mateix grau…

Al tema d’equacions hem recordat com es sumaven, restaven i multiplicaven polinomis. Vejam ara com es divideixen… Efectuem la divisió: Dividim… Continuam la divisió tornant a dividir els termes de major grau i repetint el procés fins a obtenir al residu un polinomi de menor grau que el divisor. Ara, operam al dividend… Baixam els altres termes…

Al tema d’equacions hem recordat com es sumaven, restaven i multiplicaven polinomis. Vejam ara com es divideixen… Efectuem la divisió: Multiplicam! Multiplicam! Multiplicam!

Al tema d’equacions hem recordat com es sumaven, restaven i multiplicaven polinomis. Vejam ara com es divideixen… Efectuem la divisió: Multiplicam! Multiplicam! Multiplicam! Tornam a dividir els termes de major grau…

Al tema d’equacions hem recordat com es sumaven, restaven i multiplicaven polinomis. Vejam ara com es divideixen… Efectuem la divisió: Com que el residu ara és de grau menor que el divisor… Ja hem acabat!!!

FACTORITZACIÓ DE POLINOMIS

Factorització del polinomi: 2x3 – 9x2 – 6x + 5 Per tant, bastarà provar pels divisors de 5: +1, -1, +5 i - 5 Al ser un polinomi de grau major que 2, hem de trobar les arrels per Ruffini. Provem per - 1: Provem per +1: Les arrels enteres han de ser divisors del terme independent… Anotem els coeficients del polinomi… Col·locam l’arrel que volem provar… 2 – 9 – 6 5 1 2 – 7 – 13 2 – 7 – 13 – 8 Al no haver sortit residu 0, haurem d’esborrar i provar amb el següent divisor… Multiplicam… 1 x ( - 7) = - 7 … i el col·locam davall el - 6… Operam… – 9 + 2 = – 7 Operam 5 – 13 = – 8 Multiplicam… 1 x 2 Baixam el 2… Operam… – 6 – 7 = – 13 Multiplicam 1 x ( - 13) = - 13… = 2… i el col·locam davall el – 9…

Factorització del polinomi: 2x3 – 9x2 – 6x + 5 (x + 1) = Per tant, bastarà provar pels divisors de 5: +1, -1, +5 i - 5 Provem per - 1: 2 – 9 – 6 5 – 1 – 2 11 – 5 2 – 11 5 Quan obtenim aquí només 3 coeficients, resolem l’equació de 2n grau… Ara sí que ens ha donat residu 0 !! Això vol dir que – 1 és arrel!... Per tant, x – ( – 1) = x + 1 serà un divisor del polinomi. Ja podem escriure el primer factor del polinomi… 2x2 – 11x + 5 = 0 Que resolent amb la fórmula… Ens dona les solucions: i Ja podem escriure dos factors més del polinomi!

Factorització del polinomi: 2x3 – 9x2 – 6x + 5 2· (x + 1) = Com que el producte del terme de major grau de cada factor (assenyalats amb la fletxa) dóna x3 i no 2x3, ens falta afegir el coeficient 2

Tenim encara més de 3 coeficients, Factorització del polinomi: 3x7 – 11x6 + 10x5 – 4x4 + 8x3 Ara, igual com hem fet l’exercici anterior descomposam aquesta part… Per ser de grau 4, hem de començar fent Ruffini. Els divisors de 8 són: Al no tenir terme independent, treim primer factor comú la mínima potència de x, que en aquest cas és x3… 1, – 1, 2, – 2, 4, – 4, 8 i – 8. Al provar per 1 i per – 1 no ens dóna residu 0, en canvi, sí que dóna per 2: 3 – 11 10 – 4 8 2 6 – 10 – 8 3 – 5 – 4 Ja podem començar a escriure els primers factors:… Tenim encara més de 3 coeficients, per tant, hem de seguir utilitzant Ruffini… Ara el terme independent és - 4, que té divisors: 1, – 1, 2, – 2, 4 i – 4 Per 1 i – 1 no fa falta provar-ho perquè si abans no ha donat ara tampoc donarà Hem de tornar a provar per 2 perquè podria tornar a donar…

Factorització del polinomi: 3x7 – 11x6 + 10x5 – 4x4 + 8x3 2 Al ser repetida, col·locam exponent 2 I ja hem acabat! No hem de multiplicar pel coeficient de major grau (el 3), perquè ja apareix aquest nombre al coeficient de major grau del darrer factor! 3 – 11 10 – 4 8 2 6 – 10 – 8 3 – 5 – 4 2 6 2 4 3 1 2 Ens torna a sortir residu 0!! Resolem… Ara, ja tenim 3 coeficients, per tant, podem fer servir la fórmula de l’equació de 2n grau… Al calcular això ens dóna arrel quadrada d’un nombre negatiu! Per tant, aquest factor no té divisors. Hem de deixar aquest polinomi de grau 2 a la factorització!.