Límites
El concepto de límite El concepto de “límite” describe el comportamiento de una función cuando su argumento se “acerca” a algún punto o se vuelve extremadamente grande
El concepto de límite
Límite. Ejemplo1
Límite. Ejemplo1
Límite. Ejemplo1
Límite. Ejemplo1 13
Límite. Ejemplo1
Límite. Ejemplo 1
Límite. Ejemplo 2
Límite. Ejemplo 2
Límite. Ejemplo 2
Límite. Ejemplo 2
Límite. Ejemplo 3
Límite. Ejemplo 3
Límite. Ejemplo 3
Límite. Ejemplo 4
Límite. Ejemplo 4
Límite. Ejemplo 4
Límite. Ejemplo 5
Límite. Ejemplo 5
Límite. Ejemplo 5
Límite. Ejemplo 5
El límite por la izquierda
El límite por la derecha
El límite por la derecha y por la izquierda: Ejemplo
El límite por la derecha y por la izquierda: Ejemplo
El límite por la derecha y por la izquierda: Ejemplo
El límite por la derecha y por la izquierda
Límite. Ejemplo1 En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales
Límite. Ejemplo 2 En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales
Límite. Ejemplo 3 En todo el dominio, excepto en 5, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales. En 5 son 25 y 11 respectivamente
Límite. Ejemplo 4 En todo el dominio, excepto en 0, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales. En 0 son +∞ y -∞ respectivamente
Propiedades de los límites
Propiedades de los límites
Propiedades de los límites
Funciones continuas
Funciones continuas De manera intuitiva podemos decir que una función es continua cuando pequeños cambios en la variable independiente generan pequeños cambios en la variable dependiente. De manera imprecisa podemos decir que son aquellas funciones que se “dibujan sin separar el lápiz del papel”
Funciones continuas
Funciones continuas. Ejemplo 1 Esta función es continua
Funciones continuas. Ejemplo 2 Es discontinua en x=-2 Es continua en todos los otros puntos del dominio
Funciones continuas
La derivada
El cambio, motor fundamental del Universo La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la posición La inflación: Como cambian los precios con el tiempo El cancer: Cómo crecen los tumores con el tiempo Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos ultracomplejos?
El cambio, motor fundamental del Universo Las funciones “describen” la evolución de las variables dinámicas de los sistemas
¿Cómo cambian las funciones? x f(x) 20 1 24 -1 22 2 34 -2 30 3 50 -3 44
¿Cómo cambian las funciones?
¿Cómo cambian las funciones? ¿Cómo cambia la función? Cuando va de 0 a 1 crece en 4 Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece) Cuando va de 1 a 2 crece en 10 Cuando va de -2 a -1 crece en -8 (decrece)
¿Cómo cambian las funciones?
¿Cómo cambian las funciones? ¿Cómo cambia la función? Cuando va de 0 a 2 crece en 14 Cuando va de -2 a 0 crece en -10 (decrece)
¿Cómo cambian las funciones?
¿Cómo cambian las funciones?
¿Cómo cambian las funciones?
¿Cómo cambian las funciones? La recta azul es la secante a la curva
¿Cómo cambian las funciones? La recta azul es la tangente a la curva
¿Cómo cambian las funciones? La recta azul es la tangente a la curva La pendiente de la tangente nos dice La rapidez con que la función está cambiando en ese punto
¿Cómo cambian las funciones?
¿Cómo cambian las funciones? La recta azul es la tangente a la curva
Definición de la derivada
Concepto de derivada
Concepto de derivada
Concepto de derivada
Concepto de derivada
La derivada. Ejemplo 1
La derivada. Ejemplo 1
La derivada. Ejemplo 1 La derivada es cero, La función “no cambia”
La derivada. Ejemplo 1
La derivada. Ejemplo 2
La derivada. Ejemplo 2
La derivada. Ejemplo 2
La derivada. Ejemplo 2
La derivada. Ejemplo 2
La derivada. Ejemplo 3 Una parábola
La derivada. Ejemplo 3
La derivada. Ejemplo 3
Diversas formas de escribirla La derivada Diversas formas de escribirla
La derivada. Ejemplo 4
La derivada. Ejemplo 4
La derivada. Ejemplo 4
La derivada. Ejemplo 5
La derivada. Ejemplo 5
La derivada. Ejemplo 6
La derivada. Ejemplo 6
La derivada. Ejemplo 6
Algunas derivadas
Tabla de derivadas http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_derivatives
Notación
Diferenciación implicita
Diferenciación implicita
Diferenciación implicita
Diferenciación implicita
Diferenciación implicita: Ejemplo 1
Diferenciación implicita: Ejemplo 1
Diferenciación implicita: Ejemplo 2
Diferenciación implicita: Ejemplo 2
La derivada
Propiedades de la derivada Derivada de una combinación lineal
Propiedades de la derivada Derivada del producto
Propiedades de la derivada Derivada del producto Ejemplos
Propiedades de la derivada Derivada del cociente
Propiedades de la derivada Derivada del cociente Ejemplos
Propiedades de la derivada Derivada de la composición o regla de la cadena
Propiedades de la derivada Derivada de la composición o regla de la cadena Ejemplos
Derivadas de orden superior
Derivadas de orden superior. Ejemplo 1
Derivadas de orden superior. Ejemplo 2
Derivadas de orden superior. Ejemplo 2
Derivadas de orden superior. Ejemplo 3
Aplicaciones de la derivada Máximos y mínimos
Máximo relativo
Máximo relativo
Mínimo relativo
Mínimo relativo
Punto de inflexión
Punto de inflexión
Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo
Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo
Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo
Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo
Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo
Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo
Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo
Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo
Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo
Problemas de máximos y mínimos: 1
Problemas de máximos y mínimos: 1
Problemas de máximos y mínimos: 1
Problemas de máximos y mínimos: 1
Problemas de máximos y mínimos: 1
Problemas de máximos y mínimos: 2
Problemas de máximos y mínimos: 2
Problemas de máximos y mínimos: 2
Problemas de máximos y mínimos: 2
Problemas de máximos y mínimos: 2
Las series de Taylor
Las series de Taylor Una serie de Taylor es una representación o una aproximación de una función como una suma de términos calculados de los valores de sus derivadas en un mismo punto
Las series de Taylor
Las series de Taylor
Las series de Taylor. Ejemplo 1
Las series de Taylor. Ejemplo 1
Las series de Taylor. Ejemplo 1
Las series de Taylor. Ejemplo 1
Las series de Taylor. Ejemplo 1 x sin(x) 0.500 0.479 0.400 0.389 0.300 0.296 0.200 0.199 0.100 0.000
Las series de Taylor. Ejemplo 1
Las series de Taylor. Ejemplo 1
Las series de Taylor. Ejemplo 1
Las series de Taylor. Ejemplo 1
Las series de Taylor. Ejemplo 1
Las series de Taylor. Ejemplo 1
Las series de Taylor. Ejemplo 1 x sin(x) x-x^3/6 0.500 0.479 0.400 0.389 0.300 0.296 0.200 0.199 0.100 0.000
Las series de Taylor. Ejemplo 1
Las series de Taylor. Ejemplo 1
Las series de Taylor. Ejemplo 2
Las series de Taylor. Ejemplo 3
Las series de Taylor. Ejemplo 3
Las series de Taylor. Ejemplo 3
Las series de Taylor. Ejemplo 3
Las series de Taylor. Ejemplo 3
Las series de Taylor. Ejemplo 3
Las series de Taylor. Ejemplo 3
Las series de Taylor. Ejemplo 3 x ln(x) x-1 x-1-(x-1)^2/2 x-1-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3 x-1-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3-(x-1)^4/4 0.500 -0.693 -0.500 -0.625 -0.667 -0.682 0.600 -0.511 -0.400 -0.480 -0.501 -0.508 0.700 -0.357 -0.300 -0.345 -0.354 -0.356 0.800 -0.223 -0.200 -0.220 0.900 -0.105 -0.100 1.000 0.000 1.100 0.095 0.100 1.200 0.182 0.200 0.180 0.183 1.300 0.262 0.300 0.255 0.264 1.400 0.336 0.400 0.320 0.341 0.335 1.500 0.405 0.375 0.417 0.401
Las series de Taylor. Ejemplo 4
Las series de Taylor. Ejemplo 4
Las series de Taylor. Ejemplo 4
Las series de Taylor. Ejemplo 4
Las series de Taylor. Ejemplo 5
Las series de Taylor. Ejemplo 5
Las series de Taylor. Ejemplo 5
Aproximación lineal a una función Las series de Taylor Aproximación lineal a una función
Aproximación lineal a una función Las series de Taylor Aproximación lineal a una función
Aproximación lineal a una función Las series de Taylor Aproximación lineal a una función
Aproximación lineal a una función Las series de Taylor Aproximación lineal a una función
Aproximación lineal a una función Las series de Taylor Aproximación lineal a una función
Aproximación lineal a una función Las series de Taylor Aproximación lineal a una función
Aproximación lineal a una función Las series de Taylor Aproximación lineal a una función
Cálculo integral
La integral indefinida
La integral indefinida
La integral indefinida de una función identicamente cero
La integral indefinida de una constante
La integral indefinida de la función identidad
La integral indefinida de una potencia de x
La integral indefinida de 1/x
La integral indefinida de las funciones trigonométricas
La integral indefinida de la función exponencial
La integral de una combinación lineal es la combinación lineal de las integrales
Integrales indefinidas
Integrales indefinidas
Integrales indefinidas Cambio de variable
Integrales indefinidas Cambio de variable
Integrales indefinidas Cambio de variable
Integrales indefinidas Cambio de variable
Integrales indefinidas Cambio de variable
Integrales indefinidas Cambio de variable
Integrales indefinidas Cambio de variable
Integrales indefinidas Cambio de variable
Integrales indefinidas Cambio de variable
Integrales indefinidas Integración por partes
Integrales indefinidas Integración por partes
Integrales indefinidas Integración por partes
Integrales indefinidas Integración por partes
Integrales indefinidas Integración por partes
Integrales indefinidas Integración por partes
Integrales indefinidas Integración por partes
Integrales indefinidas Integración por partes
Integrales indefinidas Integración por partes
Integrales indefinidas Integración por partes
La integral definida
Gráfica de una función de R en R
La integral definida
La integral definida
La integral definida
La integral definida Esta área
La integral definida Esta área La integral de a a b de la función f, es el área bajo la curva de la gráfica de la función entre a y b
La integral definida
La integral definida
La integral definida
La integral definida
La integral definida
La integral definida
La integral definida
La integral definida
La integral definida
La integral definida
La integral definida
La integral definida
La integral definida
La integral definida
La integral definida
La integral definida Propiedades
La integral definida Propiedades
La integral definida Propiedades
La integral definida Propiedades
La integral definida. Ejemplo 1
La integral definida. Ejemplo 2
La integral definida. Ejemplo 2
La integral definida. Ejemplo 3
La integral definida. Ejemplo 3
Aplicaciones de la integral
Aplicaciones de la integral Longitudes, áreas, volumenes Se emplea en todas las áreas de la física En general en toda la matemática aplicada la integral es ampliamente empleada
Aplicaciones de la integral El área entre dos curvas
Aplicaciones de la integral El área entre dos curvas
El área entre dos curvas. Ejemplo 1
El área entre dos curvas. Ejemplo 1
El área entre dos curvas. Ejemplo 1
Calculo del volumen de sólidos de revolución
Calculo del volumen de sólidos de revolución
Calculo del volumen de sólidos de revolución Método de los discos
Calculo del volumen de sólidos de revolución Método de los discos
El teorema fundamental del cálculo
El teorema fundamental del cálculo
El teorema fundamental del cálculo
El teorema fundamental del cálculo
El teorema fundamental del cálculo