UNIVERSIDAD LATINA DE COSTA RICA DISTRIBUCION NORMAL DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DISTRIBUCION DE VARIABLE ALEATORIA CONTINUA La variable en estudio es continua: todas las dimensiones (altura, peso, temperatura, ph, espesor, área, volumen, diámetro, La variable toma valores en el conjunto de los números reales y no es estrictamente mayor-igual que cero. Ejemplo de variables negativas: temperatura, diferencias de diámetro u otras medidas Probabilidades de >,=,<,>=,<= son básicamente los mismos. DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

¿Cuándo usar esta distribución? DISTRIBUCION NORMAL ¿Cuándo usar esta distribución? Para que la teoría de normalidad puede ser usada se deben cumplir con las siguientes propiedades: Comportamiento de simetría lo que implica que la probabilidad de ocurrencia de un valor X< la media es aproximadamente igual a la de un valor> que la media. El área total bajo la curva es 1, definida de - a + . La moda, media y mediana son iguales. Media () y varianza (2) determinan la curva y se pueden calcular las probabilidades deseadas. Forma de la curva normal: campana de Gauss DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL Fórmulas El valor esperado de la media es  y el de la varianza es 2. DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL Forma de la curva DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL ¿Cómo usar las tablas? Las tablas de esta distribución dan valores de probabilidad acumulados de izquierda a derecha y para extraer estos valores se sigue el siguiente procedimiento: Asegurar que la variable sigue un comportamiento de normalidad (esto se hace con una prueba de bondad de ajuste). Calcular los valores de la desviación estándar y el promedio y determinar el valor de x para el que se desea calcular la probabilidad. Calcular el valor de Z=(x-)/. DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL ¿Cómo usar las tablas? Localizar en tablas el valor de la probabilidad asociada a ese valor de Z. Los valores de Z pueden ser negativos o positivos. Los primeros dos dígitos de Z se encuentran en la columna de la izquierda y el tercer dígito en la parte superior de la tabla. Por ejemplo si Z es igual -3.21 entonces el valor de la probabilidad es 0.0007 pues se localiza en la intersección de -3.2 en la columna de la izquierda y 0.01 en la parte superior tal y como se muestra a continuación. Tabla se puede usar al revés. DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL EJEMPLO 1 Una empresa especifica que el peso medio de uno de sus productos debe ser de 2 Kg. con una desviación estándar de 0.05 Kg. Sabiendo que esta variable se distribuye normalmente: a. ¿cuál es la probabilidad de que un producto pese: menos de 1.93 Kg? mas de 2.02 Kg.? entre 1.90 y 2.06 Kg.? b. Si la probabilidad a la izquierda de X gramos es 0.015, ¿cuánto vale x? DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL SOLUCION a. =2 Kg. =0.05 Kg. P(x1.93)=? La probabilidad de que un producto pese menos de 1.93 Kg. es 0.0808. P(x2.02)=1-P(x2.02)=1-0.6554=0.3446 La probabilidad de que un producto pese mas de 2.02 Kg. es 0.3446. DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL SOLUCION P(1.90x2.06)=? La probabilidad de que un producto pese entre 1.90 y 2.06 Kg. es 0.8621. b. P(X<x)=0.015 Entonces: El valor de x es 1.8915 gramos. DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

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DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL EXCEL Una empresa especifica que el peso medio de uno de sus productos debe ser de 2 Kg. con una desviación estándar de 0.05 Kg. Sabiendo que esta variable se distribuye normalmente. a. ¿cuál es la probabilidad de que un producto pese: menos de 1.93 Kg. mas de 2.02 Kg. entre 1.90 y 2.06 Kg.? b. ¿cuál es el valor de peso cuya probabilidad a la izquierda es de 0.1293? DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL EXCEL SOLUCIÓN: a. =2 Kg. =0.05 Kg. P(x1.93)=? En Excel se pulsa en el menú: INSERTAR, FUNCIÓN, ESTADÍSTICAS, DISTR.NORM P(x1.93) se introduce el valor de x que es 1.93, el valor de la media que es 2 y el valor de la desviación estándar que es de 0.05. En el Acum se escribe Verdadero pues es la función acumulada. Excel retorna el valor de la probabilidad que es 0.080756. DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL EXCEL SOLUCIÓN: a. =2 Kg. =0.05 Kg. P(x1.93)=? DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL EXCEL SOLUCIÓN: P(x2.02)=? En Excel se pulsa en el menú: INSERTAR, FUNCIÓN, ESTADÍSTICAS, DISTR.NORM P(x2.02)=1- P(x2.02)=? P(x2.02) se introduce el valor de x que es 2.02, el valor de la media que es 2 y el valor de la desviación estándar que es de 0.05. En el Acum se escribe Verdadero pues es la función acumulada. Excel retorna el valor de 0.6554. Sin embargo, lo que se pide es el complemento, sea 0.3446. DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL EXCEL SOLUCIÓN: P(x2.02)=? DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL EXCEL SOLUCIÓN: P(1.9x2.06)=? En Excel se pulsa en el menú: INSERTAR, FUNCIÓN, ESTADÍSTICAS, DISTR.NORM P(1.9x2.06)=P(x2.06)- P(x1.9)=0.88493-0.02275=0.86218 P(x2.06) se introduce el valor de x que es 2.06, el valor de la media que es 2 y el valor de la desviación estándar que es de 0.05. En el Acum se escribe Verdadero pues es la función acumulada. Excel retorna el valor de la probabilidad acumulada y que es 0.88493. DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL EXCEL SOLUCIÓN: P(1.9x2.06)=? P(x1.9) se introduce el valor de x que es 1.9, el valor de la media que es 2 y el valor de la desviación estándar que es de 0.05. En el Acum se escribe Verdadero pues es la función acumulada. Excel retorna el valor de la probabilidad acumulada hasta ese valor y que es 0.02275. La resta de estos valores es la respuesta. DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL EXCEL SOLUCIÓN: P(1.9x2.06)=? DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL EXCEL SOLUCIÓN: b. P(xX)=0.1293 X=? En Excel se pulsa en el menú y se elige Normal inversa. INSERTAR, FUNCIÓN, ESTADÍSTICAS, DISTR.NORM.INV P(xX) se introduce el valor de la probabilidad que es 0.1293, el valor de la media que es 2 y el valor de la desviación estándar que es de 0.05. Excel retorna el valor de X que es 1.435. DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL EXCEL SOLUCIÓN: b. P(xX)=0.1293 X=? DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL TAREA 1. Suponga que la fuerza que actúa sobre una columna que ayuda a sostener un edificio está normalmente distribuida con media de 15.0 psi y desviación estándar de 1.25 psi. ¿Cuál es la probabilidad de que la fuerza Sea a lo sumo 17 psi? Sea entre 12 y l7 psi? Difiera de 15 psi en a lo sumo 1.5 psi? DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL TAREA 2. Un tipo particular de tanque de gasolina para un automóvil compacto está diseñado para contener 15 galones. Suponga que la capacidad X de un tanque escogido al azar esté normalmente distribuido con media de 15 galones y desviación estándar de 0.2 galones. ¿Cuál es la probabilidad de que un tanque seleccionado al azar: a. contenga a lo sumo 14.8 galones? b. contenga entre 14.7 y 15.1 galones? c. Si el automóvil en el que se instala un tanque seleccionado al azar recorre exactamente 25 millas por galón, ¿cuál es la probabilidad de que pueda recorrer 397 millas sin reabastecerse? DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL TAREA 3. Hay dos máquinas, para cortar corchos destinados para usarse en botellas de vino. La primera produce corchos con diámetros que están normalmente distribuidos con media de 3 cms y desviación estándar de 0.1 cm. La segunda máquina produce corchos con diámetros que tienen una distribución normal con media de 3.04 cms desviación estándar de .02 cm. Los corchos aceptables tienen diámetros entre 2.9 cm y 3.1 cm. ¿Cuál máquina tiene más probabilidad de producir un corcho aceptable? DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL TAREA 4. El ancho de una línea grabada en un circuito integrado está normalmente distribuido con media de 3.000 micras y desviación estándar de 0.150 micras. ¿Qué valor de ancho separa el 0% más ancho de todas las líneas del otro 90%? 5. La lectura de temperatura de un termopar puesto en un medio de temperatura constante está normalmente distribuida con media  y desviación estándar σ. ¿Cuál tendría que ser el valor de σ para asegurar que el 95% de todas las lecturas se encuentren dentro del ±0.10 de ? DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR

DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR DISTRIBUCION NORMAL TAREA 6. Se sabe que es normal la distribución de resistencia para resistores de cierto tipo, 10% de todos los resistores tienen una resistencia que excede los 10.256 ohms, y 5% tiene una resistencia menor de 9.671 ohms. ¿Cuáles son el valores de la media y de la desviación estándar de la distribución de resistencia? 7. Si el diámetro de un cojinete está normalmente distribuido, ¿cuál es la probabilidad de que el diámetro de un cojinete seleccionado al azar esté: a. Dentro de ±1, ±2 y ±3σ de su valor medio? b. A más de 2.5σ de su valor medio? c. Entre 1 y 2σ de su valor medio? DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR