División por el método de Ruffini Deben ser divisiones de la forma (x b) en el divisor. Se ordena el dividendo en orden decreciente. Los términos que falten se añaden con coeficiente 0. Luego se escriben los coeficientes en el “cuadro de Ruffini”. D I V I D E N D O C O C I E N T E Término independiente del divisor con el signo cambiado Resto

DIVISIÓN POR EL MÉTODO DE RUFFINI Dividir: (x4 -2x3 – 8x2 + 9x + 3) : (x – 3) 1 -2 -8 9 3 3 3 3 -15 -18 1 1 -5 -6 -15 Cociente: X3 + x2 – 5x - 6 Resto : -15

Teorema del resto El resto de la división de un P(x) entre un divisor de la forma (ax +b), está dado por el VALOR NUMÉRICO de P(x) para cuando x = -b/a. Es decir: R = P(-b/a) Ejemplo : P(x) = (x3 – 2x2 – x +2 ) : (x – 2) Al reemplazar obtenemos P(2) =(2)3 – 2(2)2 – (2) + 2 = 0 Si no hay resto, x – 2 es divisor de P(x)

TEOREMA DEL FACTOR Un polinomio P(x) tiene como factor x – a si el valor numérico del polinomio para x = a es cero. El polinomio P(x) = x2 +x – 6 se anula para x = 2 y para x = -3. A estos valores se les llama raíces del polinomio o ceros del polinomo. Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces. Las raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente. (ver diapositiva siguiente)

EJEMPLO:Hallar las raíces enteras de: P(x) = x3 – 3x2 – 6x + 8 El término independiente nos dará que las posibles raíces enteras estarán entre los números: divisores de 8 Se reemplazan las posibles raíces en el polinomio : P(1) = 0 x = 1 es raíz P(-1) = 0 x=-1 no es raíz P(2) = 0 x =2 no es raíz P(-2) = 0 x =-2 es raíz P(4) = 0 x = 4 es raíz. Ya hemos encontrado las tres posibles raíces. Las raíces son: x =1 , x = -2 , x= 4 Por tanto las raíces son factores: P(x) = x3 – 3x2 -6x + 8 = (x -1)(x +2)(x - 4) P(x) = x3 – 3x2 -6x + 8 = (x -1)(x +2)(x - 4)

DIVISIÓN POR EL MÉTODO DE HORNER Solo se opera con los coeficientes. Los coeficientes se colocan en el cuadro de Horner D I V I D E N D O Si el grado del divisor es n, entonces trazamos la línea punteada (que separa el cociente del residuo) después de n columnas contadas a partir de la derecha. D I V I S O R Coeficientes opuestos RESTO C O C I E N T E

MÉTODO DE HORNER Dividir ( 6x5 – 20x4 – 13x3 + 25x2 – 12x + 7 ) : (3x2 – x + 1 ) : -18 : -21 : 24 3 : 6 -20 -13 25 -12 7 +1 +2 -2 -1 -6 6 -7 +7 +8 -8 2 -6 -7 8 3 -1 Resp. 2x3 -6x2 -7x +8 3x -1

MÉTODO DE HORNER: primer paso Dividir: (6x5 – 20x4 – 13x3 + 25x2 – 15x + 8) : (3x2 – x + 1) -18 3 : 6 -20 -13 +25 -15 8 1 2 -2 -1 2 c o c i e n t e Los polinomios están ordenados y completos, de acuerdo al es-quema presentado en el cuadro de Horner. Se divide el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficiente del divisor, y se obtiene el primer coeficiente del cociente. Luego se multiplica el primer coeficiente del cociente por los coeficientes del divisor que cambiaron de signo, y se ordenan en fila debajo del dividendo. Se hace la suma dela segunda columna.( Hacia arriba)(Observar este primer paso en el cuadro de división)

MÉTODO DE HORNER: segundo paso Dividir: (6x5 – 20x4 – 13x3 + 25x2 – 15x + 8) : (3x2 – x + 1) :-18 -21 3 6 -20 -13 +25 -15 8 1 2 -2 -1 -6 6 2 -6 c o c i e n t e La suma anterior (18) de la segunda columna del dividendo se divide entre el primer coeficiente del divisor y se ubica como segundo coeficiente del cociente. Este coeficiente se multiplica por los coeficientes del divisor cambiados de signo, y se ordenan en fila debajo del dividendo. Se suma (hacia arriba) la tercera columna. (-21)

MÉTODO DE HORNER: tercer paso Dividir: (6x5 – 20x4 – 13x3 + 25x2 – 15x + 8) : (3x2 – x + 1) -18 : -21 24 3 6 -20 -13 +25 -15 8 1 2 -2 -1 -6 6 -7 7 2 -6 -7 c o c i e n t e La suma anterior (-21) de la tercera columna del dividendo se divide entre el primer coeficiente del divisor y se ubica como tercer coeficiente del cociente. Este coeficiente se multiplica por los coeficientes del divisor cambiados de signo, y se ordenan en fila debajo del dividendo. Se suma (hacia arriba) la cuarta columna. (24)

MÉTODO DE HORNER: cuarto paso Dividir: (6x5 – 20x4 – 13x3 + 25x2 – 15x + 8) : (3x2 – x + 1) -18 -21 : 24 3 6 -20 -13 +25 -15 8 1 2 -2 -1 -6 6 -7 7 8 -8 2 -6 -7 8 0 0 c o c i e n t e Resto La suma anterior (24) de la cuarta columna del dividendo se divide entre el primer coeficiente del divisor y se ubica como cuarto coeficiente del cociente. Este coeficiente se multiplica por los coeficientes del divisor cambiados de signo, y se ordenan en fila debajo del dividendo. Se suma la quinta y la sexta columna, (hacia abajo) y serían los coeficientes del resto. Esta división resulta ser exacta. RESPUESTA : 2x3 – 6x2 – 7x + 8 resto : 0