Cecilia Álvarez de Neyra Enrich Fernando Jiménez Urbanos Grupo 536 MOVIMIENTO DE UNA COMBA Cecilia Álvarez de Neyra Enrich Fernando Jiménez Urbanos Grupo 536
Deducción de las ecuaciones de movimiento: Lagrangiano Energía cinética y potencial Podemos expresar las coordenadas como:
Desarrollando los términos, encontramos el Lagrangiano: Sabemos que las ecuaciones de Euler-Lagrange vienen dadas por: (1) (2)
(1) (2) Ahora vamos a analizar distintos casos: a) Ángulos muy rígidos: Ec. de ondas
Probamos un ángulo de la forma: Tenemos de (1) que: Haciendo separación de variables: Dividimos por r y obtenemos:
La igualdad es cierta si cada lado es una constante. En las siguientes diapositivas discutiremos los distintos signos de la constante y las consecuencias que esto conlleva.
Obtenemos la relación de dispersión, que queda de la forma: Sólo nos es válido el último caso, es decir, en el que la constante es positiva. De este modo, tenemos que la solución queda como: Metiéndolo en la ecuación: Obtenemos la relación de dispersión, que queda de la forma:
Conclusiones Hemos utilizado las ecuaciones de Euler-Lagrange para el continuo. Para oscilaciones con ángulos rígidos obtenemos la ecuación de ondas sólo para el radio ya que el ángulo no varía. Hemos probado una posible solución para el ángulo y hemos obtenido lo siguiente: Para frecuencias iguales al modo fundamental de la cuerda, la parte temporal se pierde y tenemos que ésta oscila como si tuviéramos una comba propiamente dicha (ya que el radio no depende del tiempo) en la que la parte armónica está en la coordenada z.