Varianza y covarianza de variables aleatorias Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC

Varianza y covarianza de variables aleatorias

Varianza y desviación estándar Sea X una variable aleatoria con distribucion de probabilidad f (x) y media μ. La varianza de X es 𝜎 2 =𝐸[ 𝑋−𝜇 ) 2 = 𝑥 (𝑥−𝜇 ) 2 𝑓(𝑥) Si X es discreta 𝜎 2 =𝐸[ 𝑋−𝜇 ) 2 = −∞ ∞ (𝑥−𝜇 ) 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Si X es continua

Ejemplo 1 Suponga que la variable aleatoria X representa el numero de automóviles que se utilizan con propósitos de negocios oficiales en un día de trabajo dado. La distribución de probabilidad para la empresa A. y para la empresa B es: x 1 2 3 f(x) 0.3 0.4 x 1 2 3 4 f(x) 0.2 0.1 0.3

Ejemplo 1 Demuestre que la varianza de la distribución de probabilidad para la empresa B es mayor que la de la empresa A. Solución: Como es una variable aleatoria discreta, hay que utilizar la fórmula: 𝜎 2 =𝐸[ 𝑋−𝜇 ) 2 = 𝑥 (𝑥−𝜇 ) 2 𝑓(𝑥)

Ejemplo 1 Solución: 𝜇A=E X = 1 0.3 + 2 0.4 +(3)(0.3) 𝜎 𝐴 2 =𝐸[ 𝑋−𝜇A ) 2 = 𝑥 (𝑥−𝜇A ) 2 𝑓(𝑥) 𝜎 𝐴 2 = 𝑥=1 3 (𝑥−2 ) 2 𝑓(𝑥)= (1−2 ) 2 0.3 +(2−2 ) 2 (0.4)+(3−2 ) 2 (0.3) 𝜎 𝐴 2 =0.6

Ejemplo 1 Solución: 𝜇B=E X = 0 0.2 + 1 0.1 + 2 0.3 + 3 0.3 + 4 0.1 =2.0 𝜎 𝐵 2 =𝐸[ 𝑋−𝜇B ) 2 = 𝑥 (𝑥−𝜇B ) 2 𝑓(𝑥) 𝜎 𝐴 2 = 𝑥=1 3 (𝑥−2 ) 2 𝑓(𝑥)= (0−2 ) 2 0.2 +(1−2 ) 2 (0.1)+(2−2 ) 2 0.3 +(3−2 ) 2 0.3 +(4)(4−2 ) 2 (0.1) 𝜎 𝐴 2 =1.6

Teorema La varianza de una variable aleatoria X es: 𝜎 2 =𝐸 𝑋2 −𝜇2

Ejemplo 2 Suponga que la variable aleatoria X representa el numero de partes defectuosas de una maquina cuando de una línea de producción se obtiene una muestra de tres partes y se somete a prueba. La siguiente es la distribución de probabilidad de X. Utilice el teorema anterior y calcule 𝜎 2 x 1 2 3 4 f(x) 0.51 0.38 0.10 0.01

Ejemplo 2 Solución: Primero se calcula μ μ=𝐸 𝑋 = 𝑥 𝑥𝑓 𝑥 Como X= 0,1,2,3 μ=𝐸 𝑋 =0𝑓 0 +1𝑓 1 +2𝑓 2 +3𝑓 3 μ=0(0.51)+1 0.38 +2 0.10 +3 0.01 μ=0.61

Ejemplo 2 Solución: Segundo se calcula𝐸 𝑋2 𝐸 𝑋2 = 𝑥 𝑥2𝑓 𝑥 Como X= 0,1,2,3 𝐸 𝑋2 =02𝑓 0 +12𝑓 1 +22𝑓 2 +32𝑓 3 𝐸 𝑋2 =0(0.51)+1 0.38 +4 0.10 +9 0.01 𝐸 𝑋2 =0.61

Ejemplo 2 Utilizando el teorema: La varianza de una variable aleatoria X es: 𝜎 2 =𝐸 𝑋2 −𝜇2 Y reemplazando los valores: 𝜎 2 =0.87−(0.61)2 𝜎 2 =0.4979

Ejemplo 3 La demanda semanal de una bebida para una cadena local de tiendas de abarrotes, en miles de litros, es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente densidad de probabilidad, 𝑓 𝑥 = 2(𝑥−1), 1<𝑥<2 0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Calcule la media y la varianza de X.

Ejemplo 3 Solución: Como x es continua utilizamos: μ=𝐸 𝑋 = −∞ ∞ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 μ=2 1 2 𝑥 𝑥−1 𝑑𝑥= 5 3 𝐸 𝑋2 =2 1 2 𝑥2 𝑥−1 𝑑𝑥= 17 6

Ejemplo 3 Utilizando el teorema: La varianza de una variable aleatoria X es: 𝜎 2 =𝐸 𝑋2 −𝜇2 Y reemplazando los valores: 𝜎 2 = 17 6 − 5 3 2 𝜎 2 = 1 18

Covarianza La covarianza de dos variables aleatorias X y Y, con medias μX y μY, respectivamente, esta dada por σXY = E (XY) −μX μY .

Ejemplo 4 Se describe una situación acerca del numero de repuestos azules X y el numero de repuestos rojos Y. Cuando de cierta caja se seleccionan dos repuestos para bolígrafo al azar y la distribución de probabilidad conjunta es la siguiente, f(x,y) x h(y) 1 2 y 3/28 9/28 15/28 3/14 3/7 1/28 g(x) 5/14

Ejemplo 4 Calcule la covarianza de X y Y. Solución: Utilizando: σXY = E (XY) −μX μY . 𝐸 𝑋𝑌 = 𝑥=0 2 𝑦=0 2 𝑥𝑦𝑓(𝑥,𝑦) 𝐸 𝑋𝑌 = 0 0 𝑓 0,0 + 0 1 𝑓 0,1 + 0 2 𝑓(0,2) + 1 0 𝑓 1,0 + 1 1 𝑓 1,1 + 1 2 𝑓(1,2) + 2 0 𝑓 2,0 + 2 1 𝑓 2,1 + 2 2 𝑓(2,2)

Ejemplo 4 Solución: 𝐸 𝑋𝑌 =𝑓 1,1 = 3 14 Ahora se calcula: 𝜇𝑥= 𝑥=0 2 𝑥𝑔(𝑥) 𝜇𝑥= 0 5 14 + 1 15 28 + 2 3 28 = 3 4

Ejemplo 4 Solución: Por último se calcula: 𝜇𝑦= 𝑥=0 2 𝑦ℎ(𝑦) 𝜇𝑥= 0 15 28 + 1 3 7 + 2 1 28 = 1 2

Ejemplo 4 Solución: 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 σXY = E (XY) −μX μY Y reemplazando quedaría: σXY = 3 14 − 3 4 1 2 σXY =- 9 56

Ejemplo 5 La fracción X de corredores y la fracción Y de corredoras que compiten en carreras de maratón se describen mediante la función de densidad conjunta, 𝑓 𝑥,𝑦 = 8𝑥𝑦, 0≤𝑦≤𝑥≤1 0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Definición Coeficiente de Correlación .- Sean X y Y variables aleatorias con covarianza σXY y desviaciones estándar σX y σY , respectivamente. El coeficiente de correlación de X y Y es 𝜌𝑥𝑦= 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥𝜎𝑦 Donde –1 ≤ ρXY ≤ 1.

Gracias