“Guión explicativo para el empleo del material” Las diapositivas que se presentan tienen la finalidad de cumplir con el siguiente objetivo: Conocer los métodos de estimación y proyección para el análisis demográfico. Las diapositivas que se presentan “Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” son un apoyo para impartir parte de la unidad VII “Proyecciones de Población” en la Unidad de Aprendizaje de “Demografía Matemática”, la cual forma parte del plan de estudios de la Licenciatura en Actuaría. Se considera adecuado utilizar estas diapositivas porque es un trabajo que presenta una planificación claramente enfocada al aprendizaje del alumno. Su contenido da a conocer de forma clara y precisa los métodos para realizar proyecciones de población de un determinado país, región, entidad o municipio. Además se presentan el ejemplo para México al año 2020, mostrando los pasos a seguir para obtener los resultados. Finalmente se evalúan estos resultados para determinar cual es el método que se ajusta mejor a los datos reales, lo cual se expresa gráficamente. Aunado a lo anterior, al proporcionales de forma electrónica este tipo de material, se evita escribir, esto permite dedicar mayor tiempo a actividades que realmente impacten en la formación de los alumnos como su aplicación y análisis. Para el uso de estas diapositivas se requiere un cañón o video proyector para proyectar las imágenes y una computadora con el programa Power Point versión 2003 o posterior. Dado que se proporciona el material a cada uno de los alumnos, ellos también pueden seguir al profesor en su computadora.

PROYECCIONES DE POBLACIÓN DE MÉXICO A TRAVÉS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO FACULTAD DE ECONOMÍA Diapositivas Plan de estudios: Licenciado en Actuaría Unidad de aprendizaje: Demografía Matemática Créditos: 6 Tema: PROYECCIONES DE POBLACIÓN DE MÉXICO A TRAVÉS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS Profesor: M. en E.U.R. Esteban Felipe Sánchez Torres Toluca, México, octubre 2016

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Contenido: Esquema de métodos de proyección de población. Métodos matemáticos Simples Compuestos

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” ESQUEMA DE MÉTODOS DE PROYECCIÓN Estimaciones intercensales de población mediante el método de componentes. Extrapolación lineal Simples Extrapolación Geométrica Métodos matemáticos Línea recta Curva geométrica Compuestos Curva parabólica C. exponencial modif.

Métodos matemáticos simples “Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Métodos matemáticos simples

Métodos matemáticos simples “Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Métodos matemáticos simples Extrapolación lineal (Crecimiento Aritmético)

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” CRECIMIENTO ARITMÉTICO La tasa de crecimiento es la velocidad o ritmo de cambio, entendido como crecimiento o decrecimiento de los efectivos de la población en un periodo determinado. La tasa se obtiene al relacionar una población en dos momentos, asumiendo un modelo de comportamiento, en este caso aritmético. Fórmula: En donde:

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Ejemplo: Población de México Inicial Final TCMA del año 1990 al 2000 Crecimiento absoluto 1,623,377 habitantes al año

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Ejemplo: Estimaciones de población Inicial Final Población para el año 1991

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Ejemplo: Estimaciones de población

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Ejemplo: Proyecciones de población

Métodos matemáticos simples “Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Métodos matemáticos simples Extrapolación Geométrica (Crecimiento Geométrico)

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” CRECIMIENTO GEOMÉTRICO La tasa de crecimiento es la velocidad o ritmo de cambio de los efectivos de la población en un periodo determinado. La tasa se obtiene al relacionar una población en dos momentos, asumiendo un modelo de comportamiento, es este caso geométrico, lo que supone el incremento acumulado de la población en función de la población inicial. Fórmula: En donde:

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Ejemplo: Población de México Inicial Final TCMA del año 1990 al 2000 Crecimiento absoluto 1,493,571 habitantes el primer año, porque en los siguientes se incrementa

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Ejemplo: Estimaciones de población Inicial Final Población para el año 1991

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Ejemplo: Estimaciones de población

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Ejemplo: Proyecciones de población

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos”

Métodos matemáticos compuestos “Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Métodos matemáticos compuestos

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Métodos Matemáticos Compuestos Para este procedimiento se dispone básicamente de cuatro curvas: Línea recta: Y=a+bx Curva geométrica: Y=abx Curva parabólica: Y=a+bx+cx2 Curva exponencial modificada: Y=c-abx Para cada curva se asignan valores indexados, tomando el año intermedio del total de datos se asigna un valor de 0, y los consecutivos a partir de dicho número.

Métodos Matemáticos Compuestos “Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Métodos Matemáticos Compuestos Línea recta

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” LÍNEA RECTA Las ecuaciones y cálculos que se usan en este caso son los siguientes: Una vez determinados los valores se sustituyen en la ecuación general.

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Ejemplo: Considerando la población de México de 1950 a 2010, proyectarla al 2020 Años Población(y) Valor indexado(x) x2 xy 1950 25,791,017 -3 9 -77,373,051 1960 34,923,129 -2 4 -69,846,258 1970 48,225,238 -1 1 -48,225,238 1980 66,846,833 1990 80,840,622 2000 95,753,396 2 191,506,792 2010 112,336,538 3 337,009,614 Suma 464,716,773 28 413,912,481 Para asignar valores indexados, se ha tomado el año intermedio, asignándole el valor de “0” y los consecutivos a partir de dicho número. Para aplicar la ecuación, se calcula el cuadrado del valor indexado ( ) y la multiplicación de la población por el valor indexado(xy).

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Sustituyendo los valores: Por lo tanto se determinan los valores: a=66388110.43 b=14782588.61 Una vez determinados los valores, se sustituyen en la ecuación general: Y=66388110.43+14782588.61x Por tanto, para calcular valores históricos o proyectados, debe sustituirse en X el valor indexado del caso de estudio.

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Ejemplo: Proyección 2020 Año 2020 Valor indexado=4 Ecuación general: Y=66388110.43+14782588.61x Sustituyendo: Y=66388110.43+14782588.61(4)=125,518,465 De tal manera la población proyectada para el año 2020 utilizando el método línea recta es de 125,518,465 habitantes en México.

Estimación de la población 1950-2010 “Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Estimación de la población 1950-2010 En el siguiente cuadro se presenta el valor real de la población y el valor de la población estimada de los años 1950-2010, así como la diferencia entre ambos valores utilizando el método línea recta. Años Población(y) Y^ e 1950 25,791,017.00 22,040,344.61 3,750,672.39 1960 34,923,129.00 36,822,933.21 1,899,804.21 1970 48,225,238.00 51,605,521.82 3,380,283.82 1980 66,846,833.00 66,388,110.43 458,722.57 1990 80,840,622.00 81,170,699.04 330,077.04 2000 95,753,396.00 95,953,287.64 199,891.64 2010 112,336,538.00 110,735,876.25 1,600,661.75 Suma e 11,620,113.43

Estimación de población “Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Estimación de población

Métodos Matemáticos Compuestos “Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Métodos Matemáticos Compuestos Curva geométrica

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” CURVA GEOMÉTRICA En este caso se emplean las ecuaciones: Obteniendo el antilogaritmo= a Obteniendo el antilogaritmo= b Una vez determinados los valores se sustituyen en la ecuación general.

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Ejemplo: Considerando la población de México de 1950 al 2010, proyectarla al 2020 Años Población(y) Valor indexado(x) logy xlogy x2 1950 25,791,017 -3 7.41 -22.23 9 1960 34,923,129 -2 7.54 -15.09 4 1970 48,225,238 -1 7.68 -7.68 1 1980 66,846,833 7.83 0.00 1990 80,840,622 7.91 2000 95,753,396 2 7.98 15.96 2010 112,336,538 3 8.05 24.15 Suma 464,716,773 54.40 3.02 28 Para asignar valores indexados, se ha tomado el año intermedio, asignándole el valor de “0” y los consecutivos a partir de dicho número. Para aplicar la ecuación, se calcula el logaritmo de la población real (logy), la multiplicación del logaritmo por el valor indexado (xlogy) y el cuadrado del valor indexado (x^2).

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Sustituyendo los valores: log(a)= 7.771748814 Aplicando el antilogaritmo obtenemos: a=10^7.771748814 a=59121958.77 log(b)=0.107771252 b=10^0.107771252 b=1.281655341 Sustituyendo los valores de a y b en la ecuación general: Y=(59121958.77)*(1.281655341) x Ahora para calcular valores históricos o proyectados, debe sustituirse x con el valor indexado del caso de estudio.

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Ejemplo: Proyección 2020 Año 2020 Valor indexado=4 Ecuación general: Y=(59121958.77)*(1.281655341) x Sustituyendo: Y=(59121958.77)*(1.281655341) 4 =159,526,861 De tal manera la población proyectada para el año 2020 utilizando el método curva geométrica es de 159,526,861 habitantes en México.

Estimación de la población 1950-2010 “Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Estimación de la población 1950-2010 En el siguiente cuadro se presenta el valor real de la población y el valor de la población estimada de los años 1950-2010, así como la diferencia entre ambos valores utilizando el método de curva geométrica. Años Población(y) y^ e 1950 25,791,017.00 28,082,454.21 2,291,437.21 1960 34,923,129.00 35,992,027.42 1,068,898.42 1970 48,225,238.00 46,129,374.17 2,095,863.83 1980 66,846,833.00 59,121,958.77 7,724,874.23 1990 80,840,622.00 75,773,974.22 5,066,647.78 2000 95,753,396.00 97,116,118.75 1,362,722.75 2010 112,336,538.00 124,469,392.28 12,132,854.28 Suma e 31,743,298.50

Estimación de población “Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Estimación de población

Métodos Matemáticos Compuestos “Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Métodos Matemáticos Compuestos CURVA PARABÓLICA

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” CURVA PARABÓLICA Las ecuaciones y cálculos que se realizan en este caso son: Una vez determinados los valores se sustituyen en la ecuación general.

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Ejemplo: Considerando la población de México de 1950 al 2010, proyectarla al 2020 Años Población(y) Valor indexado(x) x2 y2 xy yx2 x4 1950 25,791,017 -3 9 665,176,557,894,289 -77,373,051 232,119,153 81 1960 34,923,129 -2 4 1,219,624,939,150,640 -69,846,258 139,692,516 16 1970 48,225,238 -1 1 2,325,673,580,156,640 -48,225,238 1980 66,846,833 4,468,499,082,129,890 1990 80,840,622 6,535,206,165,346,880 2000 95,753,396 2 9,168,712,845,532,820 191,506,792 383,013,584 2010 112,336,538 3 12,619,497,769,825,400 337,009,614 1,011,028,842 Suma 464,716,773 28 37,002,390,940,036,600 413,912,481 1,894,919,955 196 Para asignar valores indexados, se ha tomado el año intermedio, asignándole el valor de “0” y los consecutivos a partir de dicho número. Para aplicar la ecuación, se calcula el cuadrado del valor indexado (x²), el cuadrado de la población (y²), la multiplicación de la población por el valor indexado (xy), la multiplicación de la población por el cuadrado del valor indexado, y la cuarta potencia del valor indexado.

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Los cálculos realizados en este caso son: c=429200.75 a=64671307.43 b=14782588.61 Por lo tanto sustituyendo estos valores, la ecuación general queda de la siguiente manera: Y=64671307.43+14782588.61x+429200.75x2 Para calcularse valores históricos o proyectados, debe sustituirse x con el valor indexado del caso de estudio.

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Ejemplo: Proyección 2020 Año 2020 Valor indexado=4 Ecuación general: Y=64671307.43+14782588.61x+429200.75x2 Sustituyendo: Y=64671307.43+14782588.61(4)+429200.75(4)2=130,668,874 De tal manera la población proyectada para el año 2020 utilizando el método curva parabólica es de 130,668,874 habitantes en México.

Estimación de la población 1950-2010 “Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Estimación de la población 1950-2010 En el siguiente cuadro se presenta el valor real de la población y el valor de la población estimada de los años 1950-2010, así como la diferencia entre ambos valores utilizando el método de curva parabólica. Años Población(y) Y^ e 1950 25,791,017.00 24,186,348.36 1,604,668.64 1960 34,923,129.00 36,822,933.21 1,899,804.21 1970 48,225,238.00 50,317,919.57 2,092,681.57 1980 66,846,833.00 64,671,307.43 2,175,525.57 1990 80,840,622.00 79,883,096.79 957,525.21 2000 95,753,396.00 95,953,287.64 199,891.64 2010 112,336,538.00 112,881,880.00 545,342.00 Suma e 9,475,438.86

Estimación de población “Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Estimación de población

Métodos Matemáticos Compuestos “Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Métodos Matemáticos Compuestos CURVA EXPONENCIAL MODIFICADA

CURVA EXPONENCIAL MODIFICADA “Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” CURVA EXPONENCIAL MODIFICADA En este procedimiento, se supone el límite de crecimiento, indicado por la constante “c”. Observando los datos se supone el valor de C. Las ecuaciones correspondientes son las siguientes: Obteniendo el antilogaritmo = a Obteniendo el antilogaritmo = b Una vez determinados los valores se sustituyen en la ecuación general.

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Ejemplo: Considerando la población de México de 1950 al 2010, proyectarla al 2020 Años Población(y) Valor indexado(x) (c-y) log(c-y) xlog(c-y) x2 1950 25,791,017 -3 174,208,983 8.24 -24.72 9 1960 34,923,129 -2 165,076,871 8.22 -16.44 4 1970 48,225,238 -1 151,774,762 8.18 -8.18 1 1980 66,846,833 133,153,167 8.12 0.00 1990 80,840,622 119,159,378 8.08 2000 95,753,396 2 104,246,604 8.02 16.04 2010 112,336,538 3 87,663,462 7.94 23.83 Suma 464,716,773 935,283,227 56.80 -1.40 28 Para asignar valores indexados, se ha tomado el año intermedio, asignándole el valor de “0” y los consecutivos a partir de dicho número. El valor c se supone a partir de la observación de los datos. Para aplicar la ecuación, se calcula la diferencia de el valor c y la población (c-y), el logaritmo de esta diferencia (log(c-y)), la multiplicación del valor indexado por el logaritmo anterior (xlog(c-y)), y el cuadrado del valor indexado (x²).

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Al observar los datos suponemos que el valor c= 200,000,000. Los cálculos correspondientes son los siguientes: log(a)=8.114473 Aplicando el antilogaritmo obtenemos: a=10^8.114473 a=130158879 log(b)=-0.049966991 b=10^0.8913186 b=0.8913186 Sustituyendo los valores, la ecuación general queda de la siguiente manera: Y= 200,000,000-(130158879)*(0.8913186) x Para calcularse valores históricos o proyectados, debe sustituirse x con el valor indexado del caso de estudio.

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Ejemplo: Proyección 2020 Año 2020 Valor indexado=4 Ecuación general: Y= 200,000,000-(130158879)*(0.8913186) x Sustituyendo: Y= 200,000,000-(130158879)*(0.8913186) 4=117,850,327 De tal manera la población proyectada para el año 2020 utilizando el método curva exponencial modificada es de 117,850,327 habitantes en México.

Estimación de la población 1950-2010 “Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Estimación de la población 1950-2010 En el siguiente cuadro se presenta el valor real de la población y el valor de la población estimada de los años 1950-2010, así como la diferencia entre ambos valores utilizando el método de curva exponencial modificada. Años Población(y) y^ e 1950 25,791,017.00 16,187,614.37 9,603,402.63 1960 34,923,129.00 36,164,586.76 1,241,457.76 1970 48,225,238.00 53,970,435.45 5,745,197.45 1980 66,846,833.00 69,841,121.04 2,994,288.04 1990 80,840,622.00 83,986,959.59 3,146,337.59 2000 95,753,396.00 96,595,409.76 842,013.76 2010 112,336,538.00 107,833,556.94 4,502,981.06 Suma e 28,075,678.28

Estimación de Población “Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Estimación de Población

¿Cuál es el mejor método que se ajusta a los datos reales? “Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” ¿Cuál es el mejor método que se ajusta a los datos reales? A partir de las ecuaciones generales obtenidas en cada uno de los métodos anteriores se puede hacer la estimación de la población, sustituyendo los valores indexados en la variable de cada ecuación con el objetivo de analizar cual es el mejor ajuste.

RESULTADOS DE PROYECCIÓN DE POBLACIÓN “Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” RESULTADOS DE PROYECCIÓN DE POBLACIÓN Años Población Real Método Línea recta Método curva geométrica Método curva parabólica Método curva exponencial modificada 1950 25,791,017 22,040,345 28,082,454 24,186,348 16,187,614 1960 34,923,129 36,822,933 35,992,027 36,164,587 1970 48,225,238 51,605,522 46,129,374 50,317,920 53,970,435 1980 66,846,833 66,388,110 59,121,959 64,671,307 69,841,121 1990 80,840,622 81,170,699 75,773,974 79,883,097 83,986,960 2000 95,753,396 95,953,288 97,116,119 96,595,410 2010 112,336,538 110,735,876 124,469,392 112,881,880 107,833,557 2020   125,518,465 159,526,861 130,668,874 117,850,327

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” El mejor método para esta proyección es el Método curva parabólica, ya que los valores estimados son los que mejor se ajustan a los valores reales.

“Proyecciones de población de México a través de métodos matemáticos” Bibliografía INEGI, 1997. Manual de Medidas Sociodemográficas, México, Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática. INEGI. Censos Generales de Población y Vivienda CELADE (1984). Métodos para Proyecciones Demográficas . San José, Costa Rica.