Seinale eta sistemak 1. Seinale eta sistemak 2. Denbora jarraiko seinale eta sistemen espektro analisia 3. Denbora diskretuko seinale eta sistemen espektro analisia 4. Laginketa 5. Fourier-en Transformatu Diskretua (DFT) 6. Laplace-ren transformatua eta LTI sistema jarraikien analisirako erabilpena. 7. Z transformatua eta LTI sistema jarraikien analisirako erabilpena.

1. Seinale eta sistemak 1.1 Sarrera 1.2 Seinaleen sailkapena. Oinarrizko seinaleak 1.2.1 Seinale jarrai eta diskretuak. Sailkapenak 1.2.2 Oinarrizko eragiketak seinaleekin 1.2.3 Oinarrizko seinale jarraikiak 1.2.4 Oinarrizko seinale diskretuak 1.3 Sistemak 1.3.1 Definizioa. Sistemen arteko lotura 1.3.2 Sistema lineal eta ez-aldakorren propietateak (LTI) 1.4 Konboluzio ekuazioa 1.4.1 Definizioa. Konboluzio jarraia eta diskretua 1.4.2 Konboluzioaren propietateak 1.4.3 Sistema lineal ez-aldakorren propietateak 1.5 Koefiziente konstantedun diferentzia finituko ekuazio linealengatik (k.k.d.f.e.l.) deskribatutako sistemak

1.1 Sarrera Adibideak: x(t) = 220cos(250t) t Aldagai askea x(t) Seinalea Adibideak: x(t) = 220cos(250t) Irratian entzundako musika Adibideak: y(t) = 2 x(t) RC zirkuito elektrikoa Sistema x(t) y(t) Irteera Sarrera

1.2.1 Seinale jarrai eta diskretuak Seinale jarraiak t V(t) t x(t) X()  L(x,y) x y(x) Seinale diskretuak x[n] L-1 n X[k] N-1 n x[n]

Periodiko vs. Ez-periodiko Seinale periodikoak x[n] n t V(t) x(t) = cos(50t) Seinale ez-periodikoak t y(t) t x(t) t x(t) x[n] L-1 n X[k] N-1 X() 

Simetria Bikoiti edo Bakoitia Seinale bikoitiak t x(t) t1 -t1 1 x(t) = sin t /t t x(t) = cos(50t) x(t) = t2 Seinale bakoitiak x(t) = sin(0t) x(t) t x(t) = t Eta hau? Ez da simetrikoa t x(t)

1.2.2 Oinarrizko eragiketak seinaleekin Alderanzketa t x(t) t x(-t) Denbora desplazamendua x(t) x(t-t0) Atzerapena t0 t t x(t+t1) -t1 Aurrerapena Edozein unerekiko alderanzketa t x(t0-t) t0 x(t-t0) y(t) y(t-t0)

Oinarrizko eragiketak seinaleekin (II) Denbora eskala aldaketa t x(t) x(t) t y(t) y(t) = x(2t) t z(t) z(t) = x(t/2)

1.2.3 Oinarrizko seinale jarraiak t u(t) 1 Maila unitatea u(t) t x(t) =__(t) ½ -½ 1 Pultsu laukizuzena __(t) t x(t) =_/\_(t) 1 -1 Pultsu triangeluarra _/\_(t) t (t) 1 (gainazala) Inpultso funtzioa (t) Esponentzial konplexua x(t) = et

Inpultso funtzioaren lagintze propietatea (t-t0) t0 1 x(t) x(t0) x(t)(t-t0) Deltaren bidez x(t) seinalearen une bakar bateko lagina hartzen da:

Esponentzial konplexua x(t) = e t (jarrai)  erreala  x(t) erreala, >0  x(t) handitzen <0  x(t) txikitzen  irudikaria  x(t) konplexua eta periodikoa  = j0 x(t) = ejo t = Oinarrizko periodoa T0 = 2/0 cos0t + j sin0t

x(t) = ejo t Fasorea biraka 1 t

x(t) = ejo t Er Ir j 1 t Ir Ir j t Er j Er t 1 Er 1 t Ir

Oinarrizko seinale diskretuak Maila unitate seinalea u[n] u[n] n . . . 1 Inpultso seinalea [n] n . . . [n] 1

Inpultso diskretuaren lagintze propietatea x[n] n x[-1][n+1] x[1][n-1] n x[2][n-2] n x[0][n] n +

Esponentzial konplexua x[n] = z n (diskretu)  erreala , x[n] handitzen ../ edo txikitzen \..  irudikaria (j0) izan arren: x[n] erreala izan daiteke (x(t) konplexua) x[n] ez-periodikoa izan daiteke (x(t) periodikoa) Oinarrizko Frekuentzia = 0 / k x[n] = e jn -rekiko periodikoa da! Harmoniko multzoa finitua da

Esponentzial konplexua, -rekiko periodikoa X()=F{ejon}  0 3 2+0 - -2 2 -2+0

1.3 Sistemak Serieko lotura Lotura paraleloa  Sistema berrelikatua  Sistema jarraia x(t) y(t) Sistema diskretua x[n] y[n] Serieko lotura S1 x(t) S2 y(t) z(t) Lotura paraleloa S1 x(t) y1(t) y(t) S2 y2(t)  Sistema berrelikatua S1 x(t) y(t) S2 y2(t) 

Sistemen propietateak Gainezarmena-Linealtasuna Egonkortasuna Ez aldakortasuna denborarekiko Memoria Kausaltasuna Alderagarritasuna

1.3.2 Sistema lineal ez-aldakorren propietateak (LTI) ax(t) ay(t) x1(t)+x2(t) y1(t)+y2(t) x(t) y(t) Linealtasuna S[ax1(t) + bx2(t)] = ay1(t) + by2(t) Ez aldakortasuna t y(t) x(t) S y(t-t0) t0 x(t-t0) y(t -t0) S[x(t)] = y(t)  S[x(t-t0)] = y(t-t0)

1.4 Konboluzio ekuazioa. Diskretua Delta-ren lagintze propietatea LTI Sistema [n-k] h[n-k] Sistema Lineal Ez aldakorra [n] h[n] n LTI Sistema x[-7][n+7] + ... + x[0][n] + x[1][n-1] + x[2][n-2] + ... = x[n] x[-7]h[n+7]+ ... + x[0]h[n]+ x[1]h[n-1]+ x[2]h[n-2]+ ... = y[n] h[n-1] h[n-2] n 1 2 LTI sisteman sartuz

Konboluzio ekuazioa. Jarraia Delta-ren lagintze propietatea LTI sisteman sartuz Sistema Lineal Ez aldakorra (t) h(t) x(t) y(t)=x(t)h(t) h(t) LTI

Konboluzio jarrai eta diskretuaren formulak Gogoratu Orain idatzi Gogoratu Orain idatzi

Konboluzioa Ikuspegi grafikoan  h()=e-atu(t) 1 u() Konboluzioa Ikuspegi grafikoan u(t)h(t)  h(t-) t >0 t  0t u()  h(t-) t <0 t  0 = 0 u() t u(t)h(t) 1/a

1.4.2 Konboluzioaren propietateak x(t)  h(t) = h(t)  x(t) Trukatze legea Elkartze legea Banatze legea Elementu neutroa x(t) x(t)h1(t) h1(t) h2(t) [x(t)h1(t)]h2(t) x(t)[h1(t)h2(t)] h1(t)h2(t) < > x(t)  [h1(t) + h2(t)] = x(t)  h1(t) + x(t)  h2(t) (t-t0) (t-t0)x(t)=x(t-t0) x(t) LTI

Elementu neutro atzeratua. Hiru ikuspuntu Matematikoki x(t)  (t-t0) = x()(t-t0-) = = x(t-t0)(t-t0-) = x(t-t0)(t-t0-) = x(t-t0) LTI  Inpultso erantzuna x(t) izanik, inpultso atzeratua sartuta erantzuna atzeratzen da Atzerapena eragiten duen sistema (t-t0) (t-t0)x(t)=x(t-t0) x(t) LTI x(t) x(t-t0)=x(t)(t-t0) (t-t0) LTI

LTI sistemaren ezaugarriak = inpultso erantzunaren ezaugarriak Memoria gabeko sistemaren h(t)=0 t0 Kausala den sistemaren h(t)=0 inpultsua heldu arte t<0 Alderagarria den sistemaren ondoren bere alderantzizkoa jarrita eraginik ez dago h(t)  h-1(t) =(t) Egonkortasuna t|h(t)|dt <  k|h[k]| < 

n Prozesaketa denbora t t Prozesaketa denbora t x[n] h(t) x(t) y(t) 1 2 3 4 5 Prozesaketa denbora h(t) t x(t) t Prozesaketa denbora y(t) t

1.5 Koefiziente konstantedun diferentzia finituko ekuazio linealengatik (k.k.d.f.e.l.) deskribatutako sistemak FIR IIR  D bM bM-1 1/a0 -a1 -a2 -aN-1 -aN b1 b2 b0 x[n] w[n] y[n] I. Era Zuzena

Adierazpen baliokidea II. Era Zuzena IIR FIR  D bM bM-1 1/a0 -a1 -a2 -aN-1 -aN b1 b2 b0 z[n] y[n] x[n]  D bM bM-1 1/a0 -a1 -a2 -aN-1 -aN b1 b2 b0 y[n] x[n] z[n]