Distribuciones de Probabilidad DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y DISTRIBUCIÓN NORMAL Crédito: Presentación elaborada por el profesor José Mª Sorando, ampliando y adaptando las diapositivas por Cynthia Rodríguez

Distribución Binomial. Definición Un experimento aleatorio que tiene las siguientes características sigue el modelo de una distribución binomial: En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados, el suceso A, que se llama éxito, y su contrario Ac, al que se llama fracaso. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos en las pruebas anteriores. La probabilidad del suceso A es constante; por tanto, no varía de una prueba a otra. Se representa por p la probabilidad de A, y por q = 1 – p la probabilidad de Ac . La variable X, que representa el número de éxitos obtenidos en n pruebas, se denomina variable aleatoria binomial. Esta variable es discreta, ya que si se realizan n pruebas se podrán obtener 0, 1, 2, …, n éxitos. Una distribución binomial se caracteriza por los parámetros número de pruebas realizadas, n, y probabilidad del suceso “éxito”, p, y se representa por B(n, p). Ejemplos

Utilidad Se utiliza en situaciones en dónde hay dos posibles resultados: Al nacer un(a) bebé, puede ser varón o hembra. En el deporte un equipo puede ganar o perder. Pruebas de cierto o falso, sólo hay dos alternativas. Tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo.

Bernoulli Bernoulli realizó experimentos, en dónde los resultados eran mutuamente excluyentes. Para construirla necesitamos: La cantidad de pruebas realizadas n La probabilidad de éxitos p El evento que deseamos suceda k La función matemática

Distribución binomial: función de probabilidad p(A) = 1 6 Éxito: A = "obtener un 6" Fenómeno aleatorio: lanzar un dado p(A) = 5 6 Fracaso: A = "no obtener un 6" Si realizamos n = 10 pruebas, la probabilidad de obtener r = 3 éxitos es: B = A  A  A  A  A  A  A  A  A  A

Distribución binomial: función de probabilidad X = "número de 6 al tirar un dado 10 veces” es B(10 , 1/6) Función de probabilidad: Gráfica de la función de probabilidad

Formula Binomial  

Distribución Binomial: media y varianza En una variable aleatoria binomial B (n , p) Media: Varianza: Desviación típica: μ = n p Ejemplo.- X = "número de 6 al tirar un dado 10 veces” es B(10 , 1/6) Media = 10 · 1/6 = 10/6 Varianza = 10 · 1/6 · 5/6 = 50/36 Desviación típica = √50 / 6

Problema:  

Problema 2 Supongamos que de una muestra aleatoria de 1000 vuelos de Aeroméxico, se perdieron 300 maletas. ¿Cuál es la probabilidad de no perder una sola maleta? n= ? P=? k= ? q=? µ= ?

EXPOSICIONES 29 de abril Morales Juárez Jesús Alejandro Morales Martínez Jesús Díaz Duran Antonio Rodriguez Arellano Karla Melissa Melendez Hernandez Luis Eduardo

Distribución de Poisson Se utiliza cuando n es muy grande y p(probabilidad de éxitos) es pequeña. Nos proporciona una aproximación precisa y fácil de calcular las probabilidades binomiales.

Usamos Poisson cuando: Condiciones: n tiende a infinito: n infinito o números grandes P tiende a cero p»0 La probabilidad es muy pequeña de que ocurra el evento Media es menor a 7 M<7

Fórmula Dónde: X= es el número de veces que ocurre el evento   Dónde: X= es el número de veces que ocurre el evento µ= promedio de los éxitos entre el número total. k= es el valor específico del número de veces que deseamos que salga el resultado. e= es una constante que es igual a :2.71828 Donde: X, es el número de veces que ocurre un evento m, es el número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo n

Supongamos que de una muestra aleatoria de 1000 vuelos de Aeroméxico, se perdieron 300 maletas. ¿Cuál es la probabilidad de no perder una sola maleta? n= ? P=? k= ? q=? µ= ?

Una compañía de seguros de vida, asegura 5000 hombres de 42 años Una compañía de seguros de vida, asegura 5000 hombres de 42 años. Los estudios demuestran que la probabilidad de que un hombre de 42 muera en un año determinado es de 0.001. ¿Cuál es la probabilidad exacta de que la compañía de seguros pague 4 demandas en un año determinado?

Variable aleatoria de la Distribución Normal N(µ, ) Una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de media  y desviación típica , y se designa por N(, ) si se cumplen las siguientes condiciones. 1.ª La variable puede tomar cualquier valor real, es decir, x (–, +). 2.ª La función de densidad, que es la expresión en términos de ecuación matemática de la función de Gauss, es:

Características de la función de densidad de la N(µ, ) (m, ) x = m Área bajo la curva: 1 unidad m - s I' m + s I y = 0 Campo de existencia = (– ,+ ) Creciente Decreciente

Familia de distribuciones normales

Familia de distribuciones normales

Distribución normal estándar N(0, 1) De las infinitas distribuciones N(, ) tiene especial interés la distribución N(0, 1), es decir, aquella que tiene por media el valor cero ( = 0) y por desviación típica la unidad ( = 1). Se le designa como variable Z. Características de la distribución N(0,1): 1. Función de densidad: 2. Probabilidad: a

Tablas de la normal N(0, 1)

Manejo de tablas 1,23 P(Z  1,23) = 0,8907

P(Z  –1,23) = 1 – P(Z  1,23) = 1 – 0,8907 = 0,1093 Manejo de tablas 1,23 –1,23 P(Z  –1,23) = 1 – P(Z  1,23) = 1 – 0,8907 = 0,1093

Manejo de tablas 1,23 1,01 P(1,01  Z  1,23) = P(Z  1,23) – P(Z  1,01) = = 0,8907– 0,8438 = 0,1469

Manejo de tablas –1,23 –1,01 1,23 1,01 P(–1,23  Z  –1,01) = P(1,01  Z  1,23) = = P(Z  1,23) – P(Z  1,01) = 0,8907– 0,8438 = 0,1469

P(Z  1,01) – P(Z  –1,23) = P(–1,23  Z  1,01) = Manejo de tablas 1,01 –1,23 P(–1,23  Z  1,01) = P(Z  1,01) – P(Z  –1,23) = = P(Z  1,01) – (1 – P(Z  1,23)) = 0,8907– 1+ 0,8438 = 0,7345

Apuntes: Algunas probabilidades bajo la N(µ,  ) m + s m + 2s m – 2s m – s m + 3s m – 3s 0,683 0,954 0,997

Apuntes: Tipificación de la variable N(µ,  ) Dada una variable aleatoria X que sea N(µ, ) Con el cambio de variable Z = (X - µ)/  Se consigue una variable aleatoria Z que es N (0 , 1) Se dice que Z es la variable tipo o tipificada. Pasar el problema a esta variable nos permite poder resolverlo consultando la tabla N (0 , 1) Ejemplo.- Sea X una N(5 , 0,4). Calcular P (X ≤ 5,8) Variable tipificada: Z = (X – 5)/ 0,4 Entonces: P (X ≤ 5,8)= P [(X – 5)/ 0,4 ≤ (5,8 – 5)/ 0,4] = P (Z ≤ 2) Buscamos en la tabla N (0 , 1): P (Z ≤ 2) =0,9772