Bioestadística Distribuciones de probabilidad y distribuciones muestrales para variables cualitativas: la distribución binomial.

Bioestadística Distribuciones de probabilidad y distribuciones muestrales para variables cualitativas: la distribución binomial

Distribución binomial
Cuando tenemos interés en un evento dicotómico denominamos arbitrariamente uno de los resultados como éxito (E) y al otro como fracaso (F). Además, identificamos con una p la probabilidad de que ocurra un éxito en un ensayo, y por (1 - p) = q la probabilidad de que ocurra un fracaso.

Ejemplos. Observar “aguila” al lanzar una moneda:
p = 0.5, q = 0.5 Observar el “1” al lanzar un dado: p = 0.17, q = 0.83 Que el producto del siguiente parto en el HCG sea una niña: p = 0.49, q = 0.51 Seleccionar un diabético en la población general: p = 0.08, q = 0.92

Muestras de universos binomiales
Cada selección es independiente de las anteriores. La probilidad de “éxito” se mantiene constante (la muestra se extrae de una población infinita o se extrae de una población finita con reemplazo)

Águila al lanzar una moneda: p = 0.5 = éxito
# n = 2 p n = 3 1 EE 0.5•0.5 0.25 EEE 0.5•0.5•0.5 0.125 2 EF EEF 3 FE EFE 4 FF EFF 5 FEE 6 FEF 7 FFE 8 FFF

Águila al lanzar una moneda: p = 0.5 = éxito
# n = 4 p 1 EEEE 0.54 0.0625 9 FEEE 0.53•0.5 2 EEEF 10 FEEF 0.52•0.52 3 EEFE 11 FEFE 4 EEFF 12 FEFF 0.5•0.53 5 EFEE 13 FFEE 6 EFEF 14 FFEF 7 EFFE 15 FFFE 8 EFFF 16 FFFF

Cara “uno” al lanzar un dado: p = 0.17 = éxito
# n = 2 p n = 3 1 EE 0.172 0.029 EEE 0.173 0.0049 2 EF 0.17•0.83 0.141 EEF 0.172•0.83 0.0240 3 FE EFE 4 FF 0.832 0.689 EFF 0.17•0.832 0.1171 5 FEE 6 FEF 7 FFE 8 FFF 0.833 0.5718

# n = 2 p n = 3 1 EE 0.172 0.029 EEE 0.173 0.0049 2 EF 0.17•0.83 0.141 EEF 0.172•0.83 0.0240 3 FE EFE 4 FF 0.832 0.689 EFF 0.17•0.832 0.1171 5 FEE 6 FEF 7 FFE 8 FFF 0.833 0.5718 P(2 éxitos en dos lanzamientos) = ?

# n = 2 p n = 3 1 EE 0.172 0.029 EEE 0.173 0.0049 2 EF 0.17•0.83 0.141 EEF 0.172•0.83 0.0240 3 FE EFE 4 FF 0.832 0.689 EFF 0.17•0.832 0.1171 5 FEE 6 FEF 7 FFE 8 FFF 0.833 0.5718 P(2 éxitos en dos lanzamientos) = 0.029

# n = 2 p n = 3 1 EE 0.172 0.029 EEE 0.173 0.0049 2 EF 0.17•0.83 0.141 EEF 0.172•0.83 0.0240 3 FE EFE 4 FF 0.832 0.689 EFF 0.17•0.832 0.1171 5 FEE 6 FEF 7 FFE 8 FFF 0.833 0.5718 P(2 éxitos en dos lanzamientos) = 0.029 P(1 éxito y 1 fracaso en dos lanzamientos) = ?

# n = 2 p n = 3 1 EE 0.172 0.029 EEE 0.173 0.0049 2 EF 0.17•0.83 0.141 EEF 0.172•0.83 0.0240 3 FE EFE 4 FF 0.832 0.689 EFF 0.17•0.832 0.1171 5 FEE 6 FEF 7 FFE 8 FFF 0.833 0.5718 P(2 éxitos en dos lanzamientos) = 0.029 P(1 éxito y 1 fracaso en dos lanzamientos) = 0.282

# n = 2 p n = 3 1 EE 0.172 0.029 EEE 0.173 0.0049 2 EF 0.17•0.83 0.141 EEF 0.172•0.83 0.0240 3 FE EFE 4 FF 0.832 0.689 EFF 0.17•0.832 0.1171 5 FEE 6 FEF 7 FFE 8 FFF 0.833 0.5718 P(2 éxitos en dos lanzamientos) = 0.029 P(1 éxito y 1 fracaso en dos lanzamientos) = 0.282 P(2 éxitos y 1 fracaso en tres lanzamientos) = ?

# n = 2 p n = 3 1 EE 0.172 0.029 EEE 0.173 0.0049 2 EF 0.17•0.83 0.141 EEF 0.172•0.83 0.0240 3 FE EFE 4 FF 0.832 0.689 EFF 0.17•0.832 0.1171 5 FEE 6 FEF 7 FFE 8 FFF 0.833 0.5718 P(2 éxitos en dos lanzamientos) = 0.029 P(1 éxito y 1 fracaso en dos lanzamientos) = 0.282 P(2 éxitos y 1 fracaso en tres lanzamientos) = 0.072

# n = 4 p 1 EEEE 0.174 0.0008 9 FEEE 0.173•0.83 0.0041 2 EEEF 10 FEEF 0.172•0.832 0.0199 3 EEFE 11 FEFE 4 EEFF 12 FEFF 0.17•0.833 0.0972 5 EFEE 13 FFEE 6 EFEF 14 FFEF 7 EFFE 15 FFFE 8 EFFF 16 FFFF 0.834 0.4746

# n = 4 p 1 EEEE 0.174 0.0008 9 FEEE 0.173•0.83 0.0041 2 EEEF 10 FEEF 0.172•0.832 0.0199 3 EEFE 11 FEFE 4 EEFF 12 FEFF 0.17•0.833 0.0972 5 EFEE 13 FFEE 6 EFEF 14 FFEF 7 EFFE 15 FFFE 8 EFFF 16 FFFF 0.834 0.4746 P(2 éxitos 2 fracasos en cuatro lanzamientos) = ?

# n = 4 p 1 EEEE 0.174 0.0008 9 FEEE 0.173•0.83 0.0041 2 EEEF 10 FEEF 0.172•0.832 0.0199 3 EEFE 11 FEFE 4 EEFF 12 FEFF 0.17•0.833 0.0972 5 EFEE 13 FFEE 6 EFEF 14 FFEF 7 EFFE 15 FFFE 8 EFFF 16 FFFF 0.834 0.4746 P(2 éxitos y 2 fracasos en cuatro lanzamientos) = 0.119

# n = 4 p 1 EEEE 0.174 0.0008 9 FEEE 0.173•0.83 0.0041 2 EEEF 10 FEEF 0.172•0.832 0.0199 3 EEFE 11 FEFE 4 EEFF 12 FEFF 0.17•0.833 0.0972 5 EFEE 13 FFEE 6 EFEF 14 FFEF 7 EFFE 15 FFFE 8 EFFF 16 FFFF 0.834 0.4746 P(2 éxitos y 2 fracasos en cuatro lanzamientos) = 0.119 P(1 éxito y 3 fracasos en cuatro lanzamientos) = ?

# n = 4 p 1 EEEE 0.174 0.0008 9 FEEE 0.173•0.83 0.0041 2 EEEF 10 FEEF 0.172•0.832 0.0199 3 EEFE 11 FEFE 4 EEFF 12 FEFF 0.17•0.833 0.0972 5 EFEE 13 FFEE 6 EFEF 14 FFEF 7 EFFE 15 FFFE 8 EFFF 16 FFFF 0.834 0.4746 P(2 éxitos y 2 fracasos en cuatro lanzamientos) = 0.119 P(1 éxito y 3 fracasos en cuatro lanzamientos) = 0.389

Distribuciones muestrales de universos binomiales
Éxitos n = 2 n = 3 n = 4 p = 0.17 p = 0.50 0.689 0.250 0.572 0.125 0.475 0.063 1 0.282 0.500 0.351 0.375 0.389 2 0.029 0.072 0.119 3 0.005 0.016 4 0.001

Distribuciones muestrales binomiales
Podemos expresar la probabilidad de que ocurran exactamente x éxitos en n ensayos mediante la expresión donde x es la variable aleatoria "número de éxitos" 𝑷 𝑿=𝒙|𝒏,𝒑 = 𝒏! 𝒙! 𝒏−𝒙 ! 𝒑 𝒙 𝒒 𝒏−𝒙 = 𝒏 𝒙 𝒑 𝒙 𝒒 𝒏−𝒙

Cálculo de probabilidad: ejemplo.
Pregunta: Probabilidad de encontrar 2 éxitos y 2 fracasos en 4 selecciones, cuando P = 0.17

Pregunta: Probabilidad de encontrar 2 éxitos y 2 fracasos en 4 selecciones, cuando P = 0.17 1.- Utilizaremos la distribución binomial, con fórmula 𝑃 𝑋=𝑥|𝑛,𝑝 = 𝑛! 𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 Donde el número de selecciones es n = 4, y el número de éxitos es x = 2 1.1.- Recordemos que la expresión “!”, o “factorial”, expresa que el número deberá ser multiplicado progresivamente desde n hasta 1. Así, 4! = 4*3*2*1 = 24. 1.2.- Por regla, 0! = 1.

2.- Procedemos a sustituir los valores, para que la fórmula quede como 𝑛! 𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 = 4! 2! 4−2 ! −2

2.- Procedemos a sustituir los valores, para que la fórmula quede como 𝑛! 𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 = 4! 2! 4−2 ! −2 4∗3∗2∗1 2∗1 2∗ ∗0.6889= ∗0.6889

2.- Procedemos a sustituir los valores, para que la fórmula quede como 𝑛! 𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 = 4! 2! 4−2 ! −2 4∗3∗2∗1 2∗1 2∗ ∗0.6889= 𝟔∗𝟎.𝟎𝟏𝟗𝟗=𝟎.𝟏𝟏𝟗

# n = 4 p 1 EEEE 0.174 0.0008 9 FEEE 0.173•0.83 0.0041 2 EEEF 10 FEEF 0.172•0.832 0.0199 3 EEFE 11 FEFE 4 EEFF 12 FEFF 0.17•0.833 0.0972 5 EFEE 13 FFEE 6 EFEF 14 FFEF 7 EFFE 15 FFFE 8 EFFF 16 FFFF 0.834 0.4746 P(2 éxitos y 2 fracasos en cuatro lanzamientos) = 0.119

Distribuciones muestrales binomiales
Podemos expresar la probabilidad de que ocurran exactamente x éxitos en n ensayos mediante la expresión donde x es la variable aleatoria "número de éxitos" Para el cálculo de p también podemos utilizar tablas de distribución binomial. Estas tablas generalmente se pueden encontrar en los anexos de los libros de Estadística. 𝑃 𝑋=𝑥|𝑛,𝑝 = 𝑛! 𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 𝑛 𝑥 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥

Distribución binomial
La distribución binomial es realmente una familia de distribuciones, puesto que para cada valor diferente de n y p, que se denominan parámetros de la distribución binomial, se puede definir una distribución diferente. Sin tener en cuenta el valor de n, la distribución es simétrica cuando p = 0.5

Pregunta: Probabilidad de encontrar 2 éxitos en 4 selecciones, cuando P = 0.17 1.- Las tablas de distribución binomial las podremos encontrar los anexos del libro: hay una para cada tamaño de muestra (n) y cada valor de probabilidad (p). 1.1.- Primero buscamos la tablas para el tamaño de muestra o número de ensayos (n). 1.2.- Luego buscamos la columna correspondiente a la probabilidad poblacional de referencia (p) 1.3.- Así pues, para el ejemplo, buscamos la tabla para n = 4, y p = 0.17

Pregunta: Probabilidad de encontrar 2 éxitos en 4 selecciones, cuando P = 0.17 2.- En la tabla para n = 4, buscamos la celda que corresponda a la columna de p = 0.17 y el renglón de x = 2. (Recordemos que con x definimos el número de éxitos) De esta manera encontramos que la probabilidad de tener 2 éxitos en cuatro selecciones es igual

Cálculo de probabilidad: ejercicio.
Pregunta: Probabilidad de encontrar 4 o más éxitos en 7 selecciones, cuando P = 0.30

Pregunta: Probabilidad de encontrar 4 o más éxitos en 7 selecciones, cuando P = 0.30 2.- En la tabla para n = 7, buscamos la celda que corresponda a la columna de p = 0.30 y los renglones de x ≥ 4 De esta manera encontramos que la probabilidad de tener 4 o más éxitos en 7 selecciones es igual a = 0.126

Pregunta: Probabilidad de encontrar 3 o menos éxitos en 5 selecciones, cuando P = 0.60

Pregunta: Probabilidad de encontrar 3 o menos éxitos en 5 selecciones, cuando P = 0.60 1.- Si en la tabla para n = 5 buscamos la columna de p = 0.60, no la encontraremos: las tablas binomiales solo nos muestran las columnas con valores de p ≤ 0.50.

Pregunta: Probabilidad de encontrar 3 o menos éxitos en 5 selecciones, cuando P = 0.60 1.- Si en la tabla para n = 5 buscamos la columna de p = 0.60, no la encontraremos: las tablas binomiales solo nos muestran las columnas con valores de p ≤ 0.50. 2.- Para calcular esta probabilidad utilizamos la columna complementaria: 1 – 0.60 = 0.40 3.- Invertimos la secuencia de las celdas en la columna de p = 0.40

Pregunta: Probabilidad de encontrar 1 o menos éxitos en 5 selecciones, cuando P = 0.60 1.- Si en la tabla para n = 5 buscamos la columna de p = 0.60, no la encontraremos: las tablas binomiales solo nos muestran las columnas con valores de p ≤ 0.50. 2.- Para calcular esta probabilidad utilizamos la columna complementaria: 1 – 0.60 = 0.40 3.- Invertimos la secuencia de las celdas en la columna de p = 0.40 De esta manera encontramos que la probabilidad de tener 1 o menos éxitos en 5 selecciones es igual a = 0.087

Distribución bionomial en Epi Info.

Distribución bionomial: aproximación a la normal
La distribución normal proporciona una aproximación de la distribución binomial, cuando n es grande y p no está demasiado cercano a 0 ó 1 (cuando el producto npq  5, y p es mayor a 0.1 y menor a 0.9 Para utilizar la aproximación a la normal, hacemos que  = np, 2 = npq, y 𝑍= 𝑥−𝑛𝑝 𝑝𝑞𝑛

La distribución normal proporciona una aproximación de la distribución binomial, cuando n es grande y p no está demasiado cercano a 0 ó 1 (cuando el producto npq  5, y p es mayor a 0.1 y menor a 0.9 Para utilizar la aproximación a la normal, hacemos que  = np, 2 = npq, y 𝒁= 𝒙−𝒏𝒑 𝒑𝒒𝒏

Cálculo de probabilidades: ejercicio.
n = 50 PQn = 12 1.- Sabemos que el universo de muestras se distribuye normalmente porque PQn > 5. 1.1- Trazamos un figura que represente la campana de Gauss, con una línea horizontal en la base y otra línea que represente la media poblacional. 1.2.- Conviene anotar el valor de la media poblacional, que es igual a Pn = 0.60 * 50 = 30.

n = 50 PQn = 12 2.- Trazamos una línea perpendicular a la base que definirá el área de interés. 3.- Sombreamos el área de interés. En este ejemplo, valores que sean menores a 3,250 g.

n = 50 PQn = 12 4.- Sabemos que µ = Pn = 30 5.- Calculamos 𝜎= 𝑃𝑄𝑛 = 0.60∗0.40∗50 =3.46

n = 50 PQn = 12 6.- Transformamos la variable número de éxitos (x), con µ = 30 y σ = 3.47, en la variable normal estandarizada, z, con µ = 0 y σ = 1, por medio de la fórmula 𝑍= 𝑥−𝑃𝑛 𝑃𝑄𝑛 = 35− =1.44

n = 50 PQn = 12 7.- Buscamos el área de la curva normal que corresponde al espacio de Z = 0 a Z = 1.44

n = 50 PQn = 12 8.- Terminamos sumando las áreas de interés. P(𝑥< 35) = = 0.92

Es necesario tener presente que la aproximación de la distribución normal a la distribución binomial es eso, una aproximación. Cuando calculamos la misma probabilidad mediante la distribución binomial el resultado es igual a 0.90

Distribuciones muestrales
La distribución de las proporciones muestrales, calculada con base en muestras aleatorias simples de tamaño n sacadas con remplazo de una población, tiene una forma aproximadamente normal si nPQ son mayores o iguales a cinco, y la media y la varianza de la distribución muestral serán iguales a 𝜎 𝑝 2 = 𝑃𝑄 𝑛 𝜇 𝑝 =𝑃

Para calcular z recurrimos a A partir de conocer z solo resta utilizar la tabla para hallar la probabilidad deseada. 𝑍= 𝑥−𝜇 𝜎 = 𝑝 −𝑃 𝑃𝑄 𝑛

Cálculo de probabilidades: ejemplo.
n = 250 PQn = 42.9 1.- Sabemos que el universo de muestras se distribuye normalmente porque PQn > 5. 1.1- Trazamos un figura que represente la campana de Gauss, con una línea horizontal en la base y otra línea que represente la media poblacional. 1.2.- Conviene anotar el valor de la media poblacional, que es igual a P = 0.22

n = 250 PQn = 42.9 2.- Trazamos una línea perpendicular a la base que definirá el área de interés. 3.- Sombreamos el área de interés. En este ejemplo, valores que sean menores a 0.25

n = 250 PQn = 42.9 4.- Sabemos que µ = P = 0.22 5.- Calculamos 𝜎= 𝑃𝑄 𝑛 = ∗ =0.031

n = 250 PQn = 42.9 6.- Transformamos la variable proporción en la muestra, con µ = 0.22 y 𝜎 𝑝 = 0.031, en la variable normal estandarizada, z, con µ = 0 y σ = 1, por medio de la fórmula 𝑍= 𝑝 −𝑃 𝜎 𝑝 = 0.25− ∗ =0.97

n = 250 PQn = 42.9 7.- Buscamos el área de la curva normal que corresponde al espacio de Z = 0 a Z = 0.97

n = 250 PQn = 42.9 8.- Terminamos sumando las áreas de interés. P( 𝑝 < 0.25) = = 0.83

Cuando estamos interesados en comparar dos poblaciones, y las muestras son sacadas con remplazo, la distribución muestral tiene una forma aproximadamente normal si nPQ es mayor o igual a cinco para cada muestra, siendo la media y la varianza de la distribución muestral igual a 𝜎 𝑝 1 − 𝑝 = 𝑃 1 𝑄 1 𝑛 𝑃 2 𝑄 2 𝑛 2 𝜇 𝑝 1 − 𝑝 2 = 𝑃 1 − 𝑃 2

Para calcular z recurrimos a Considerando el supuesto de la hipótesis nula, la fórmula anterior puede escribir como A partir de conocer z solo resta utilizar la tabla para hallar la probabilidad deseada. Z= 𝑥−𝜇 𝜎 = 𝑝 1 − 𝑝 2 − 𝑃 1 − 𝑃 𝑃 1 𝑄 1 𝑛 𝑃 2 𝑄 2 𝑛 2 Z= 𝑥−𝜇 𝜎 = 𝑝 1 − 𝑝 2 −0 𝑃𝑄 𝑛 1 + 𝑃𝑄 𝑛 2

n1 = 100 PQn1 = 22.44 n2 = 85 PQn2 = 19.07 1.- Sabemos que el universo de muestras se distribuye normalmente porque PQn1 > 5 y PQn2 > 5. 1.1- Trazamos un figura que represente la campana de Gauss, con una línea horizontal en la base y otra línea que represente la media poblacional. 1.2.- Conviene anotar el valor de la media poblacional, que es igual a P1 – P2 = 0

PP(| 𝑝 1 − 𝑝 2 | ≥ 0.10) P = 0.66 n1 = 100 PQn1 = 22.44 n2 = 85 PQn2 = 19.07 2.- Trazamos una línea perpendicular a la base que definirá el área de interés. 3.- Sombreamos el área de interés. En este ejemplo, valores que sean mayores a |0.10|. 3.1.- Para este ejemplo sombreamos los dos extremos, porque estamos buscando el área que tenga muestras con diferencias > |0.10|. (Recordemos que |-0.10| = 0.10)

n1 = 100 PQn1 = 22.44 n2 = 85 PQn2 = 19.07 4.- Ya sabemos que 𝜇 𝑝 1 − 𝑝 2 = 𝑃 1 − 𝑃 2 =0 cuando las dos muestras se tomaron del mismo universo. 5.- Calculamos 𝜎 𝑝 1 − 𝑝 2 = 𝑃𝑄 𝑛 1 + 𝑃𝑄 𝑛 2 = ∗ ∗ =0.07

n1 = 100 PQn1 = 22.44 n2 = 85 PQn2 = 19.07 6.- Transformamos la variable de diferencia de proporciones con 𝜇 𝑝 1 − 𝑝 2 =0 y 𝜎 𝑝 1 − 𝑝 2 = 0.07, en la variable normal estandarizada, z, con µ = 0 y σ = 1, por medio de la fórmula 𝑍= 𝑝 1 − 𝑝 2 −0 𝜎 𝑝 1 − 𝑝 − ∗ ∗ =1.43

n1 = 100 PQn1 = 22.44 n2 = 85 PQn2 = 19.07 7.- Buscamos el área de la curva normal que corresponde al espacio de Z = 0 a Z = 1.43

n1 = 100 PQn1 = 22.44 n2 = 85 PQn2 = 19.07 8.- Terminamos sumando las áreas de interés. P(| 𝑝 1 − 𝑝 2 | ≥ 0.10) = = 0.16

Si el muestreo se hace sin remplazo, entonces El factor (N - n)/(N - 1) se denomina factor de corrección de población finita (CPF). Podemos pasarlo por alto si el tamaño de la muestra es pequeño en relación con el tamaño de la población (n < N*0.05). 𝜎 𝑝 2 = 𝑃𝑄 𝑛 ∙ 𝑁−𝑛 𝑁−1 𝜇 𝑝 =𝑃

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