Las distribuciones binomial y normal. De Moivre Las distribuciones binomial y normal. Bernouilli

Variables aleatorias : Se llama variable aleatoria a toda ley (función) que asocia a cada elemento del espacio muestral E un numero real. Ej: a) La variable aleatoria X que representa el número de caras en el lanzamiento de tres monedas toma los valores 0,1,2,3. b) La variable X que representa la suma de las caras superiores de dos dados toma los valores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. c) La variable X que representa la longitud de las judías verdes toma valores, por ejemplo, en el intervalo (0-20) cm. d) La variable X que representa la medida del perímetro craneal de una serie de individuos toma valores, por ejemplo, en el intervalo (60-90) cm.

Variables aleatorias discretas: Serán las de los ejemplos a) y b) ya que sólo pueden tomar ciertos valores enteros Variables aleatorias continuas: Serán las de los ejemplos c) y d) ya que pueden tomar, al menos teóricamente, todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo real.

Función de probabilidad. Se llama Función de probabilidad de una variable aleatoria X a la aplicación que asocia a cada valor xi de la variable su probabilidad pi. Se debe verificar:

Media y varianza: Se llama media o esperanza de una variable aleatoria X, que toma los valores x1, x2, …, xn, con probabilidades p1, p2, …,pn, respectivamente, al valor de la siguiente expresión: Se llama varianza de una variable aleatoria X, que toma los valores x1, x2, …, xn, con probabilidades p1, p2, …,pn, respectivamente, al valor de la siguiente expresión: Se llama desviación típica de una variable aleatoria X, a la raíz cuadrada positiva de la varianza, se representa por

Función densidad: Si representamos el histograma de frecuencias de una variable aleatoria continua, a medida que los intervalos de la clase van siendo más pequeños y el tamaño de las muestras mayor, el polígono de frecuencias se aproxima a una curva continua, la función cuya gráfica es esta curva límite se llama función de densidad, f(x)

Distribución binomial o de Bernouilli Distribución binomial o de Bernouilli. Si un experimento aleatorio tiene las siguientes características: 1ª En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados, el suceso A (éxito) y su contrario Ā (fracaso). 2ª El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores. 3ª La probabilidad del suceso A es constante y, por lo tanto, no varía de una prueba a otra: p  probabilidad de A; q =1-p  será la de Ā. Para un experimento aleatorio que sigue un modelo binomial con n pruebas, la representaremos por B(n,p):

En este caso: Media o esperanza: Varianza: Desviación típica:

Ejemplos: El Ayuntamiento de una ciudad ha comprobado que el 23% de los ciudadanos acude a las piscinas municipales. Si se escoge al azar una muestra de 15 personas de esa ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas haya acudido a las piscinas municipales? La variable X, que cuenta el número de personas que han utilizado en alguna ocasión los polideportivos municipales, sigue una distribución binomial B(15, 0.23). Por tanto:

En un concurso de tiro, la probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es de 1/3 . Si dispara 12 veces, ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en cinco ocasiones? ¿Y de que acierte al menos una vez? La variable X cuenta el número de aciertos en el blanco, y sigue una distribución binomial B(12,1/3). Por tanto:

La distribución Normal Se trata de una distribución continua. Recibe ese nombre porque es la más aparece en diferentes situaciones. Una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ) si se cumple: 1.- La variable puede tomar cualquier valor real, es decir, 2.- La función de densidad será:

El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞). Es simétrica respecto a la media µ. Tiene un máximo en la media µ. Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella. El eje de abscisas es una asíntota de la curva. En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión. El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad. Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha. - La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva. p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 % p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 % p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %

La curva recibe el nombre de campana de Gauss En todas el área bajo la curva es =1

Distribución normal estándar De las N(μ, σ) es de especial interés N(0, 1), para la cual Será útil ya que según nos dice una propiedad: Si X sigue una distribución normal N(μ, σ) , la variable Y=aX+b seguirá también una distribución normal N(μy, σy),con μy= μX+b σy=|a|σ

Esto nos permitirá tipificar la variable X, y así convertir N(μ, σ) en N(0, 1), la cual está tabulada, transformando X en otra variable

Teorema Central del Límite:La distribución binomial B(n, p) se aproxima a una curva normal de media μ = n · p y desviación típica σ = , cuando n tiende a ∞, es decir, cuando n se hace muy grande.

Teorema de De Moivre: Una distribución binomial B(n, p) se puede aproximar mediante una distribución normal , de este modo, si tipificamos la variable como , tendrá una distribución cercana a N(0,1). Esto será admisible cuando:

El “precio” que hay que pagar por pasar de una a otra se denomina “corrección por continuidad” y consiste en hacer determinados ajustes para que la aproximación realizada sea lo más precisa posible.

Ejemplos: